Question

exercícios anexo para resolução

Answer 1

1)
1.1) Hallemos la ecuación del plano tangente en dicho punto con ayuda de la siguiente fórmula

      $z-2=\dfrac{\partial f(1,4)}{\partial x}(x-1)+\dfrac{\partial f(1,4)}{\partial y}(y-4)$

procedamos al cálculo de cada derivada parcial

1.2) Cálculo de las DP
           $\dfrac{\partial f(1,4)}{\partial x}=\left.\dfrac{\partial (x\sqrt{y})}{\partial x}\right|_{(1,4)}\\ \\ \\ \dfrac{\partial f(1,4)}{\partial x}=\left.\sqrt{y}|_{(1,4)}\\ \\ \\ \dfrac{\partial f(1,4)}{\partial x}=\sqrt{4} \\ \\ \\ \boxed{\dfrac{\partial f(1,4)}{\partial x}=2}$


$\dfrac{\partial f(1,4)}{\partial y}=\left.\dfrac{\partial (x\sqrt{y})}{\partial y}\right|_{(1,4)}\\ \\ \\ \dfrac{\partial f(1,4)}{\partial y}=\left.\dfrac{x}{2\sqrt{y}}\right|_{(1,4)}\\ \\ \\ \dfrac{\partial f(1,4)}{\partial y}=\dfrac{1}{2\sqrt{4}}\\ \\ \\ \boxed{\dfrac{\partial f(1,4)}{\partial y}=\dfrac{1}{4}}$

1.3) Ecuación del plano
            $z-2=2(x-1)+\dfrac{1}{4}(y-4) \\ \\ \boxed{8x+y-4z=4}$

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Los coeficientes en la ecuación del plano, nos indican las componentes del vector normal a este: $\vec n=(8,1,-4)$

La ecuación vectorial de la normal que se pide es
                       $\boxed{(x,y,z)=(1,4,2)+(8,1,-4)t}$

En forma paramétrica...
            $\begin{cases} x=1+8t\\y=4+t\\z=2-4t \end{cases}$

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Asumiré que ya están en integrales dobles.

           $\displaystyle M=\iint \limits_{G}\rho(x,y) dA\\ \\ \text{donde }G=\{(x,y):-1\leq y\leq 2\,,\, y^2\leq x\leq y+2\}\\ \\ M=\iint \limits_{G}3 dA\\ \\ M=3\iint \limits_{G} dA\\ \\ M=3\int_{-1}^{2}\int_{y^2}^{y+2}dx\,dy\\ \\ M=3\int_{-1}^{2} y+2-y^2\,dy\\ \\ \\ \boxed{M=\dfrac{27}{2}}$