Question

Exercício sobre integrais triplas, preciso do passo a passo!

Answer 1

Dado um sólido $D$ descrito em coordenadas cartesianas, o volume desse sólido é dado por

$\mathrm{Volume}(D)=\displaystyle\iiint_D 1\,dz\,dy\,dx$

( integral tripla da função constante igual a $1$ )

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Encontrando os limites de integração:

$\bullet\;\;x$ varia entre extremos fixos:

$-\sqrt{5}\le x\le \sqrt{5}$


$\bullet\;\;y$ varia entre duas funções de $x.$

A projeção do sólido sobre o plano $xy$ é o disco de centro na origem e raio $\sqrt{5}.$ Sendo assim, $y$ varia entre duas semicircunferências:

$-\sqrt{5-x^2}\le y\le \sqrt{5-x^2}$


$\bullet\;\;z$ varia entre duas funções de $x$ e $y.$

$z$ varia do plano $xy$ até o paraboloide. Sendo assim,

$0\le z\le 2x^2+2y^2$

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Escrevendo as integrais iteradas em coordenadas cartesianas:

$\mathrm{Volume}(D)=\displaystyle\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}}\int_{-\sqrt{5-x^2}}^{\sqrt{5-x^2}}\int_{0}^{2x^2+2y^2} 1\,dz\,dy\,dx$


A integral acima é trabalhosa de se resolver. Mas como a projeção do sólido sobre o plano $xy$ é um disco:

$x^2+y^2\le 5$

é conveniente aqui usar coordenadas cilíndricas.

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Mudança para coordenadas cilíndricas:

$\begin{array}{cc} \left\{ \!\begin{array}{l} x=r\cos\theta\\ y=r\,\mathrm{sen\,}\theta\\ z=z \end{array} \right.~~&~~\begin{array}{c} 0\le \theta\le 2\pi\\ 0\le r\le \sqrt{5}\\ 0\le z\le 2r^2 \end{array} \end{array}$


O módulo do Jacobiano desta transformação é

$\left|\mathrm{Jac\,}\phi\right|=r$

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Escrevendo as integrais iteradas em coordenadas cilíndricas:

$\mathrm{Volume}(D)=\displaystyle\iiint_{D_{r,\,\theta,\,z}}1\cdot \left|\mathrm{Jac\,}\phi\right|dz\,dr\,d\theta\\\\\\ =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{5}}\int_{0}^{2r^2}r\,dz\,dr\,d\theta\\\\\\ =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{5}}r\cdot (z)\big|_{0}^{2r^2}\,dr\,d\theta\\\\\\ =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{5}}r\cdot (2r^2-0)\,dr\,d\theta\\\\\\ =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{5}}2r^3\,dr\,d\theta$

$=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\left.\left(\dfrac{2r^4}{4} \right )\right|_{0}^{\sqrt{5}}\,d\theta\\\\\\ =\int_{0}^{2\pi}\left.\left(\dfrac{r^4}{2} \right )\right|_{0}^{\sqrt{5}}\,d\theta\\\\\\ =\int_{0}^{2\pi}\left(\dfrac{(\sqrt{5})^4}{2}-\dfrac{0^4}{2} \right )d\theta\\\\\\ =\int_{0}^{2\pi}\dfrac{25}{2}\,d\theta$

$=\dfrac{25}{2}\,(\theta)\big|_{0}^{2\pi}\\\\\\ =\dfrac{25}{2}\cdot (2\pi-0)\\\\\\ =25\pi\mathrm{~u.v.}$