Question

Exercício de:posição relativa entre circunferências.

λ1=x^2+y^2-4x-6y+12=0
λ2=x^2+y^2+4x-12y+24=0

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se a posição relativa entre as circunferências abaixo:

λ₁ ----> x² + y² - 4x - 6y + 12 = 0
λ₂ ---> x² + y² + 4x - 12y + 24 = 0

Antes de mais nada, atente que uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r , tem a seguinte equação reduzida:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²    . (I) <--- Vamos deixar esta expressão "guardada" aqui pois vamos precisar dela daqui a pouco.

Bem, agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos trabalhar com a circunferência λ₁ , que é esta:

x² + y² - 4x - 6y + 12 = 0 ---- vamos encontrar a equação reduzida desta circunferência (que está na sua forma geral). Para isso, deveremos formar os quadrados, sempre lembrando que deveremos subtrair aqueles valores que serão acrescentados à equação por força da formação dos quadrados.
Então vamos formar os quadrados. Para isso, vamos ordenar, ficando:

x² - 4x + y² - 6y + 12 = 0 ----- agora formaremos os quadrados:
(x-2)² - 4 + (y-3)² - 9 + 12 = 0 --- ordenando novamente, teremos:
(x-2)² + (y-3)² - 4 - 9 + 12 = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
(x-2)² + (y-3)² - 1 = 0 ----- passando "-1" para o 2º membro, teremos:
(x-2)² + (y-3)² = 1 ---- note que "1" é a mesma coisa que "1²". Assim:
(x-2)² + (y-3)² = 1² ----- Agora compare esta equação com a nossa expressão (I), que deixamos "guardada" logo no início e, a partir dessa comparação, chega-se à conclusão de que a circunferência λ₁ tem centro e raio iguais a:

C(2; 3) e r = 1 <---- Estes são os centro e o raio da circunferência λ₁.

ii) Vamos trabalhar com a circunferência λ₂, que é esta:

x² + y² + 4x - 12y + 24 = 0 ---- ordenando, teremos:
x² + 4x + y² - 12y + 24 = 0 ---- vamos formar os quadrados, ficando:
(x+2)² - 4 + (y-6)² - 36 + 24 = 0 ---- ordenando novamente, teremos;
(x+2)² + (y-6)² - 4 - 36 + 24 = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, teremos:

(x+2)² + (y-6)² - 16 = 0 ----- passando "-16" para o 2º membro, temos:
(x+2)² + (y-6)² = 16 ----- note que 16 = 4². Assim:
(x+2)² + (y-6)² = 4²  ---- Agora compare esta equação com a expressão (I) e, a partir daí, constate que a circunferência λ₂ tem centro e raio iguais a:

C(-2; 6) e r = 4 <--- Estes são o centro e o raio da circunferência λ₂.

iii) Bem, como já temos os centros e os raios de cada uma das circunferências, vamos agora encontrar a distância entre os centros das duas circunferências.

iii.a) Encontrando a distância entre o centro C(2; 3), da circunferência λ₁, e o centro (-2; 6), da circunferência λ₂. Assim, chamando a distância de "d", teremos:

d² = (-2-2)² + (6-3)²
d² = (-4)² + (3)²
d² = 16 + 9
d² = 25
d = +-√(25) ---- como √(25) = 5 , teremos:
d = +- 5 ------ mas como distância não pode ser negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

d = 5 u.m. ------- (observação: u.m. = unidades de medida)

iii.2) Agora veja que a distância entre os centros (5 u.m.) é exatamente igual à soma dos raios das duas circunferências: 1+4 = 5.

Note: se distância encontrada aí em cima (d = 5 u.m.) é igual à soma dos dois raios, que chamaremos de "r₁" e "r₂", então é porque essas duas circunferências são TANGENTES EXTERNAS.

Assim, resumindo, temos que a posição relativa dessas duas circunferências é:

TANGENTES EXTERNAS <--- Esta é a resposta.

iv) Bem, a resposta já está dada. Agora, só por curiosidade, veja que temos as seguintes situações com relação a posições relativas entre duas circunferências:

iv.a) tangentes externas se:  d = r₁ + r₂ (que foi o caso da sua questão)
iv.b) tangentes internas se: d = r₁ - r₂
iv.c) circunferências externas (uma externa à outra) se: d > r₁ + r₂
iv.d) circunferências internas (uma dentro da outra)se: d < r₁ - r₂.
iv.e) circunferências secantes (cortam-se em 2 pontos) se: d < r₁ + r₂
iv.f) circunferências concêntricas (têm o mesmo centro) se: d = 0 .

Apenas pra você ter uma ideia do acerto da nossa resposta, veja o gráfico dessas duas circunferências no endereço abaixo e constate tudo o que dissemos sobre elas ao longo do desenvolvimento da questão. Veja lá:

http://www.wolframalpha.com/input/?i={x%C2%B2+%2B+y%C2%B2+-+4x+-+6y+%2B+12+%3D+0,+x%C2%B2+%2B+y%C2%B....

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.