Question

Exercício de integral

Answer 1

Resposta:

(π/e).(5 + 2.e³) u.v.

Explicação passo-a-passo:

Temos que, sendo y= ln x:

Para y= -1:

-1 = ln x

ln x = -1

x= e⁻¹

Para y= 2:

2 = ln x

ln x = 2

x= e²

Logo, o volume V do sólido de revolução solicitado é dado por:

e²

V= ∫ y². π dx

e⁻¹

e²

V= π. ∫ (ln x)². dx

e⁻¹

De fato, se traçar o gráfico pode ser visto que y = ln x é:

negativo para x < 1

0 para x = 1

positivo para x > 1

Assim, para calcular o volume do sólido de forma correta (a qual terá a forma se um cálice deitado), o certo é calcular o mesmo conforme a fórmula abaixo:

1 e²

V= π. ∫ (ln x)². dx + π. ∫ (ln x)². dx (I)

e⁻¹ 1

(*) para resolver essa integral temos que aplicar a integração por partes:

Seja ∫ (ln x)². dx = ∫ 1. (ln x)². dx

Fazendo:

u= (ln x)² => du= 2.(ln x). (1/x). dx

v= x => dv= dx

Logo:

∫ u.dv = u.v - ∫ v.du

∫ (ln x)² dx = (ln x)².x - ∫ x.2.(ln x). (1/x) dx

∫ (ln x)² dx = (ln x)².x - 2.∫ (ln x) dx (II)

Trabalhando agora com ∫ (ln x) dx, usando o mesmo método:

Fazendo:

w= ln x => dw= (1/x) dx

z= x => dz= dx

Logo:

∫ w.dz = w.z - ∫ z.dw

∫ (ln x) dx = (ln x).x - ∫ x. 1/x dx

∫ (ln x) dx = (ln x).x - ∫ dx

∫ (ln x) dx = (ln x).x - x + C

∫ (ln x) dx = x. (ln x - 1) + C (III)

Substituindo (III) em (II) temos:

∫ (ln x)² dx = (ln x)².x - 2.{x. (ln x - 1)}

∫ (ln x)² dx = (ln x)².x - 2x.(ln x -1) + C

∫ (ln x)² dx = (ln x)².x - 2x.(ln x) + 2x + C

Substituindo em (I):

1 e²

V= π. ∫ (ln x)². dx + π. ∫ (ln x)². dx

e⁻¹ 1

1

V= π.[(ln x)².x - 2x.(ln x) + 2x] | +

e⁻¹

e² π.[(ln x)².x - 2x.(ln x) + 2x] |

1

V= π.[(ln 1)².1 - 2.1.(ln 1) + 2.1] -

π.[(ln e⁻¹)².e⁻¹ - 2.e⁻¹.(ln e⁻¹) + 2.e⁻¹] +

π.[(ln e²)².e² - 2.e².(ln e²) + 2.e²] -

π.[(ln 1)².1 - 2.1.(ln 1) + 2.1]

V= π.[(ln e⁻¹)².e⁻¹ - 2.e⁻¹.(ln e⁻¹) + 2.e⁻¹] + π.[(ln e²)².e² - 2.e².(ln e²) + 2.e²]

V= π.[(-1.ln e)².e⁻¹ - 2.e⁻¹.(-1.ln e) + 2.e⁻¹] + π.[(2.ln e)².e² - 2.e².(2.ln e) + 2.e²]

V= π.[(-1)².e⁻¹ - 2.e⁻¹.(-1) + 2.e⁻¹] + π.[(2)².e² - 2.e².(2) + 2.e²]

V= π.[e⁻¹ + 2.e⁻¹ + 2.e⁻¹] + π.[4e² - 4.e² + 2.e²]

V= π.[5e⁻¹] + π.[2.e²]

V= π.(5/e + 2.e²)

V= (π/e).(5 + 2.e³) u.v.

Blz?

Abs :)