Question

Exercício de área entre curvas:

Determine a área limitada entre as curvas y=4x e y=x³+3x²

Resposta: 131/4

Answer 1

Primeiro temos que encontrar os pontos na qual as funções se interceptam:

$\left \{ {{y=4x} \atop {y=x^3+3x^2}} \right. \\ \\ 4x = x^3 + 3x^2 \\ \\ x^3 + 3x^2 - 4x = 0 \\ \\ x(x^2 + 3x - 4) = 0 \to x' = 0 \\ \\ x^2 + 3x - 4 = 0 \\ \\ x'' = 1 \\ x''' = -4$

Logo aplicando o teorema fundamental do cálculo:

$\left (\int\limits^1_0 {4x} \, dx - \int\limits^1_0 {x^3 + 3x^2} \, dx \right) + \left (\int\limits^0_{-4} {x^3 + 3x^2} \, dx - \int\limits^0_{-4} {4x} \, dx \right)$

Encontrando as integrais indefinidas:

$\int {4x} \, dx = 4\int {x} \, dx = 4* \frac{x^2}{2} = 2x^2 \\ \\ \int {x^3 + 3x^2} \, dx = \int {x^3} \, dx + \int {3x^2} \, dx = \frac{x^4}{4} + 3* \frac{x^3}{3} = \frac{x^4}{4} + x^3$

Logo temos:

$A =\left [ \left (2x^2 \right )\limits^1_0 - \left ( \frac{x^4}{4} + x^3 \right )\limits^1_0 \right ] + \left [ \left ( \frac{x^4}{4} + x^3 \right )\limits^0_{-4} - \left (2x^2 \right )\limits^0_{-4} \right ]$

Aplicando os limites (irei aplicar individualmente para ter espaço):

$\left [ \left (2x^2 \right )\limits^1_0 - \left ( \frac{x^4}{4} + x^3 \right )\limits^1_0 \right ] \\ \\ \ [(2*1^2 - 2*0^2) ] - \leftt [( \frac{1^4}{4} + 1^3 ) - ( \frac{0^4}{4} + 0^4)] \\ \\ 2 - ( \frac{1}{4} + 1) = 2 - \frac{5}{4} = \boxed{ \frac{3}{4} }$

$\left [ \left ( \frac{x^4}{4} + x^3 \right )\limits^0_{-4} - \left (2x^2 \right )\limits^0_{-4} \right ] \\ \\ \\ \ [( \frac{0^4}{4} - 0^3 ) - (\frac{(-4)^4}{4} + (-4)^3)] - [(2*0^2 - 2*(-4)^2) \\ \\ -(64 - 64) -(-32) = \boxed{32}$

Assim temos a área limitada pelas funções:

$A =\left [ \left (2x^2 \right )\limits^1_0 - \left ( \frac{x^4}{4} + x^3 \right )\limits^1_0 \right ] + \left [ \left ( \frac{x^4}{4} + x^3 \right )\limits^0_{-4} - \left (2x^2 \right )\limits^0_{-4} \right ] \\ \\ \\ A = \frac{3}{4} + 32 \\ \\ \\ A = \frac{ 3 + 128}{4} \\ \\ \\ \boxed{A = \frac{131}{4} }$