Question

Exercício 6. Os vértices de um triângulo são os pontos A(0.4), B(2,-6), C(-4,2). Calcule a medida da mediana AO do triảngulo ABC.
a)
$\sqrt{41}$
b) 6
c) 12
d)
$\sqrt{37}$
e)
$\sqrt{11}$
​

Answer 1

Bom ele da as coordenadas cartesianas dos vérticies então vamos calcular a distância entre os pontos:

      AB = √[(2-0)² + (-6-4)²]

      AB = √[2² + (-10)²]

      AB = √[4 + 100]

      AB = √104

     

      AC = √[(-4 - 0)² + (2 - 4)²]

      AC = √[(-4)² + (-2)²]

      AC = √[16 + 4]

      AC = √20

      BC = √[(-4 - 2)² + (2 - (-6))²]

      BC = √[(-6)² + (8)²]

      BC = √[36 + 64]

      BC = √100

      BC = 10

Bom agora já temos os valores de todos os lados do triângulo, na imagem ele mostra que BO e CO são congruentes, então:

     BO = CO = 10/2 = 5

Vamos chamar o ângulo AOC de alfa e o ângulo AOB de 180 - alfa, sabendo disso podemos aplicar a lei do cosseno em ambos:

       AC² = AO² + OC² - 2.AO.OC.cos(alfa)

       AB² = AO² + OB² - 2.AO.OB.cos(180-alfa)

Olha pelas regras da trigonometria podemos dizer que:

      cos(180-alfa) = - cos(alfa)

Então:

       AB² = AO² + OB² - 2.AO.OB.[-cos(alfa)]

       AB² = AO² + OB² + 2.AO.OB.cos(alfa)

Agora que sabemos essas duas leis do cosseno mais essa regrinha trigonométrica vamos montar um sistema, com a observação que OC = OB:

       AC² = AO² + OC² - 2.AO.OC.cos(alfa)

       AB² = AO² + OB² + 2.AO.OB.cos(alfa)

                                  |

       AC² = AO² + OC²

       AB² = AO² + OB²

Agora que nosso sistema ta mais simples e sem cosseno vamos resolve-lo pelo método da adição, mas como OB = OC então vamos chama-lo de Y:

       AC² = AO² + Y²

       AB² = AO² + Y²

                     |

       AC² + AB² = 2AO² + 2Y²

Substituindo na nova formula alguns valores que nós ja calculamos previamente:

       AC² + AB² = 2AO² + 2Y²

                     |

        (√20)² + (√104)² = 2.AO² + 2.5²

Agora vemos que a única icognita da equação é AO que é justamente a mediana, então vamos resolve-la:

       (√20)² + (√104)² = 2.AO² + 2.5²

       20 + 104 = 2.AO² + 2.25

       124 = 2.AO² + 50

       2.AO² = 124 - 50

       2.AO² = 74

       AO² = 37

       AO = √37

Então a mediana será a √37, ou seja, alternativa d.

Espero ter ajudado!