Question

Exemplo para estudo de caso:
Em determinado intervalo de tempo, durante uma partida de futebol, os
deslocamentos de um jogador foram representados por vetores. Primeiro, ele se
deslocou 4m para frente; depois, 10m para esquerda; em seguida, 5m em
direção inclinada, 6m para trás; e, finalmente, 2m para direita. A figura a seguir
representa esses deslocamentos utilizando vetores com uma origem comum. O
módulo de cada um desses vetores está indicado na figura.
10m
E
a
5m
4m A
o 2m
B
6m
a) Considere sena = 0,6 e cosa = 0,8 e determine R- A+B + C + D + E,
usando o método das projeções.
b) Determine os componentes ortogonais nas direções do eixo Ox e Oy de cada
um dos deslocamentos.
c) Represente o vetor correspondente à soma de todos esses deslocamentos
utilizando as projeções obtidas. Terminada essa sequência de deslocamentos,
a quantos metros estará o jogador do ponto de partida?

Answer 1

Resposta:

O jogador estará do ponto de partida: 20 metros

Answer 2

Terminada a sequência de deslocamentos, o jogador estará a 13m do ponto de partida.

Soma Vetorial

Para se somar vetores, um dos métodos mais práticos é o das projeções, onde dividimos os vetores em suas projeções nos eixos cartesianos e depois efetuamos as somas dessas projeções ortogonais.

No problema dado, a maior parte dos vetores já está nos eixos cartesianos, faltando apenas o vetor D.

$D_x = D\cdot sen~\alpha = 5 \cdot 0,8 = 4m\\D_y = D\cdot cos~\alpha = 5 \cdot 0,6 = 3m$

Como ambos estão no terceiro quadrante, então são negativos.

Agora somamos a resultante horizontal e vertical, atentando ao sinal. No eixo x, se orientado para a direita é positivo e se orientado para a esquerda negativo:

$R_x = \hat{B} - \hat{D_x} - \hat{E}\\R_x = 2 - 4 - 10 = -12\\\\R_y = \hat{A} - \hat{D_y} - \hat{C}\\R_y = 4-3-6 = -5$

Na figura, o vetor R está devidamente representado. Para calcular seu comprimento, usamos Pitágoras:

$|R| = \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2}\\|R| = \sqrt{25 + 144}\\|R| = \sqrt{169} = 13m$

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