Question

Exemplo: Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em R². v1= (2,1) e v2=(3,2)

Answer 1

Vamos relembrar esse conceito. No caso, dois vetores são ditos linearmente independentes se $\alpha v_{1} + \beta v_{2} = (0, 0)$ onde esta apresenta somente solução trivial, ou seja, α = β = 0. Caso isso não ocorra dizemos que esses vetores são linearmente dependentes.

Vamos lá:

$\alpha v_{1} + \beta v_{2} = (0, 0)\\\alpha (2, 1) + \beta (3, 2) = (0, 0)\\(2\alpha , \alpha) + ( 3\beta, 2\beta) = (0, 0)\\(2\alpha + 3\beta , \alpha + 2\beta ) = (0, 0)\\\left \{ {{2\alpha + 3\beta = 0} \atop {\alpha + 2\beta =0}} \right.$

Usarei o método da substituição, porém outros, métodos também são viáveis.

α = - 2β

2α + 3β = 0 => 2(- 2β) + 3β = 0 => - 4β + 3β = 0 => - β = 0 => β = 0

α = - 2 · 0 = 0

Logo,

α = β = 0, e assim esses vetores são L. I. (linearmente independentes).