Question

Execute o que se pede para a função f(x) = x^4 - 2x^3.


a) Encontre os pontos críticos.

b) Encontre pontos de inflexão.

c) Encontre intervalos de crescimento e decrescimento.

d) Estude a concavidade. e) Determine os extremos relativos.

f) Determine os extremos absolutos.

Answer 1

O estudo de uma função é realizado através de suas derivadas.

Os tipos de estudos mais comuns são os estudos da derivada primeira, que nos informam os pontos críticos, e os pontos de derivada segunda que nos dá a concavidade da função naquele ponto.

Seja a função $f(x) = x^4 - 2x^3$

a) Encontre os pontos críticos.

Os pontos críticos são os pontos em que a derivada primeira se anula.

a derivada primeira da função $f(x) = x^4 - 2x^3$ segue a regra de derivada polinomial:

$f'(x) = 4.x^{4-1} - 3.2.x^{3-1}\\f'(x)=4x^3-6x^2$

E podemos descobrir que os pontos críicos são os pontos x=0 e x=6/4

$f'(x)=4x^3-6x^2=0 \implies x^2(4x-6)=0$

b) Encontre pontos de inflexão.

Os pontos de inflexão são os pontos onde a derivada segunda se anula.

Uma vez obtido f'(x), é fácil obter f''(x):

$f''(x) =(f'(x))'=12x^2-12x$

E podemnos descobrir que os pontos de inflexão são os pontos x=0 e x=1

$12x^2-12x=0 \implies x(12x-12)=0$

c) Encontre intervalos de crescimento e decrescimento.

podemos descobrir os intervalos de crescimento e decrescimento pelas raízes da função f(x):

$f(x) = x^4 - 2x^3=x^3(x-2)$

E vemos que as raízes são x=0 e x=2.

para x<0 (x= -1 por exemplo)  teremos

$(-1)^4-2*(-1)^3=1+2=3$ e por isso f(x<0)>0

para 0<x<2 (x= 1 por exemplo)  teremos

$(1)^4-2*(1)^3=1-2=-1$  e por isso f(0<x<2)<0

para x>2 (x= 3 por exemplo)  teremos

$(3)^4-2*(3)^3=81-51=30$  e por isso f(x>2)>0

d) Estude a concavidade.

A derivada segunda nos dá a concavidade do ponto. então, podemos descobrir se um ponto crítico é máximo, inflexão ou mínimo ao calcular a derivada segunda neste ponto.

Vamos calcular para os pontos 0 e 6/4 o valor de $f(x)=x(12x-12)$

para x=0:

$f(0)=0(12(0)-2)=0$

Como a derivada segunda é zero em x=6/4, então este é um ponto de inflexão.

para x=6/4:

$f(6/4)=(6/4)*(12*(6/4)-2)=24$

Como a derivada segunda é positiva em x=6/4, então este é um ponto de mínimo.

e) Determine os extremos relativos.

Os extremos relativos são os pontos críticos. são os pontos f(x) tal que x=0 ou x= 6/4

f(0)=0

f(6/4)= -1,6875

f) Determine os extremos absolutos.

o mínimo absoluto será o ponto x=6/4