Question

exdx = ydy e y(0) = 2​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{y=\sqrt{2e^x+2}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos este problema de valor inicial, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja o problema:

$e^x\,dx=y\,dy,~y(0)=2$.

Integramos ambos os lados

$\displaystyle{\int e^x\,dx=\int y\,dy}$

Lembre-se que:

• A integral da função exponencial é igual à própria função exponencial: $\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x+C$.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.

Sabendo que $\displaystyle{\int y\,dy=\int y^1\,dy$, teremos

$e^x+C_1=\dfrac{y^2}{2}+C_2$

Subtraia $C_2$ em ambos os lados da equação

$e^x+C_1-C_2=\dfrac{y^2}{2}$

Considere $C_1-C_2=C_3$

$\dfrac{y^2}{2}=e^x+C_3$

Multiplique ambos os lados da equação por $2$

$y^2=2e^x+2C_3$

Considere $2C_3=C$

$y^2=2e^x+C$

Então, utilize o valor cedido pelo enunciado, sabendo que $y=y(x)$.

$2^2=2e^0+C$

Sabendo que $e^0=1$, calcule as potências

$4=2+C$

Subtraia $2$ em ambos os lados da equação

$C=2$

Dessa forma, a solução se torna:

$y^2=2e^x+2$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados da equação

$y=\sqrt{2e^x+2}$

Esta é a solução deste problema.