Question

Eu to a mais de uma hora tentando resolver, ja vi videos no youtube, pesquisei e não encontrei nada. Peço que alguém me ajude por favor

Answer 1

Temos duas funções, f e g, tais que :

$\displaystyle \text{ f(x)} = \text x-1 \ \ ; \ \text {g(f(x))} = \frac{4}{\text x-2}+3$

Queremos a g(x).

Para revolver esse tipo de problema, vamos usar a seguinte propriedade de função inversa :

$\text {f}(\text f^{-1}(\text x)} )= \text x$

1º vamos achar a inversa da f(x) :

$\text {f(x)} =\text x-1 \\\\\ \text y = \text x-1 \\\\ \text{achando a inversa, trocando x por y e isolando y}: \\\\ \text x = \text y-1 \\\\ \text y = \text x+1 \\\\ \boxed{\text{f}^{-1}(\text x) = \text x+1 }$

Substituindo x pela inversa da f  na g(f(x)) :

$\displaystyle \text{g(f(}\text f^{-1}(\text x)) = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle \text{f}^{-1}(\text x)-2} + 3 \\\\\\ \text{por{\'e}m } \text f(\text f^{-1}(\text x)) = \text x \ , \text{logo}: \\\\\\\ \text{g(x)} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle \text x+1-2}+3 \\\\\\\ \text {g(x)}= \frac{4}{\text x-1}+3 \\\\\\ \text{g(x)} = \frac{4+3(\text x-1)}{\text x-1}\\\\\\ \text{g(x)}=\frac{4+3\text x-3}{\text x-1} \\\\\\\ \huge\boxed{\text {g(x)} =\frac{3\text x+1}{\text x-1} \ }\checkmark$