Question

Eu posso afirmar que f(x)+f(y)=f(x+y) é verdade?

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Seja f : R → R contínua tal que

f(x + y) = f(x) + f(y) ∀x, y ∈ R.  É uma função linear.

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Vejamos para cada uma das situações a seguir se vale, se valer a Função é verdadeira sempre.

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• Para valor Nulo:

Vale f(0) = 0 pois f(0 + 0) = f(0) + f(0) = 2f(0) = f(0), então vale f(0) = 0.

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• Para Simétrico:

Dado qualquer x real, vale que f(−x) = −f(x), pois f(x − x) = f(x) + f(−x) = 0

portanto f(−x) = −f(x).

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• Para Múltiplo:

Vale que f(nx) = nf(x) para qualquer x real e n pertencente aos naturais pois, por indução:

f(1.x) =  1.f(x), supondo f(nx) = nf(x) tem-se que :

f((n + 1)x) = f(nx) + f(x) = nf(x) + f(x) = (n + 1)f(x).

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• Para Múltiplo simétrico:

Seguimos a mesma sequencia dos tópicos anteriores:

f(−nx) = −f(nx) = −nf(x) logo a propriedade f(nx) = nf(x) vale para n inteiro.

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• Para Divisores:

Dado n natural vale que:

$f(\frac{x}{n}) = \frac{f(x)}{n}$,  pois:

$f(\frac{xn}{n})=nf(\frac{x}{n})=f(x)$, logo:

$\frac{f(x)}{n} = f(\frac{x}{n})$ isso para qualquer x real.

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• Para Frações:

Temos também por fim que:

$f(\frac{px}{q}) = \frac{p}{q}f(x)$, onde $\frac{p}{q}$ um número racional e q≠0

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• Para Valor unitário:

Podemos denotar f(1) = a daí vale que f(x) = x*f(1) = ax onde x é um número racional.

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• Para qualquer número fazemos uso das sequências:

Tomamos uma sequência (xn) de números racionais que convergem para um valor  x real arbitrário (racional ou irracional), vale que :

$f(x_{n})=x_{n}f(1)=x_{n}a$

aplicando o limite e usando a continuidade segue que :

$\lim_{} f(x_{n})=f(x)= \lim_{} x_n a=ax$

logo: $f(x)=ax$

Com essas propriedades percebemos que ela obedece todas, logo a podemos afirmar que f(x)+f(y)=f(x+y) é verdadeira.

Resolução a partir da resposta do professor: Rodrigo Carlos Silva de Lima.