Question

Eu gosto muito de brincar com palito de fósforo para montar figuras geo- métricas. Numa dessas brincadeiras montei uma sequência de triângulos, inspirada numa questão da OBMEP de 2012, seguindo o padrão indicado na figura a seguir:

Answer 1

Utilizando formulações de Progressão Aritmetica (P.A.), temos que o número de palitos "Sn" de uma figura 'n' qualquer é dado pela formula:

$S_n=\frac{3n(n+1)}{2}$

Explicação passo-a-passo:

Vamos seguir o padrão da figura em anexo e encontrar o número de pequenos triangulos em cada figura:

Figura 1 = 1

Figura 2 = 3

Figura 3 = 6

...

Podemos decompor esta regra em uma soma de valores, ou seja:

Figura 1 = 1

Figura 2 = 3 = 1 + 2

Figura 3 = 6 = 1 + 2 + 3

...

Figura n = 1 + 2 + 3 + 4 + ..... + n

E com isso encontramos uma padrão para estas figuras, e podemos escrever um equação que nos da a soma destes valores, pois note que a sequência de 1 até n é simplesmente uma Progressão Aritmetica (P.A.) de valor inicial 1, ultimo valor 'n' e razão igual a 1, ou seja, podemos usar a formula de Soma de PA neste caso:

$S_n=(A_1+A_n)\cdot \frac{n}{2}$

$S_n=(1+n)\cdot \frac{n}{2}$

$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$

E assim temos um formula para o número de triangulos em cada figura, e como cada triangulo é feito por 3 palitos, basta multiplicar esta formula por 3 e temos a formula de número total de palitos:

$S_n=\frac{3n(n+1)}{2}$