Matemática, perguntado por renatowst, 4 meses atrás

Estude o comportamento da função f(x) = (1/3)x3 – (1/6)x2 – (2/3)x. Obtenha o domínio, a intersecção com o eixo Oy, os pontos críticos. Faça o estudo do sinal para determinar o ponto de máximo e de mínimo, identificando os intervalos em que f(x) é crescente e decrescente e o ponto de inflexão. Finalize a atividade com um esboço gráfico (Resolva passo a passo a questão).

Soluções para a tarefa

Respondido por rubensousa5991

Analisando cuidadosamente o estudo sobre função construímos o gráfico em vermelho que está em anexo e as demais informações que estão no estudo abaixo.

Estudo sobre funções

Uma função pode ter, em um determinado intervalo, máximos e mínimos. No máximo, a função o maior valor, no mínimo, o menor valor. Uma função f(x) está definida em um intervalo fechado [a, b]. Chamamos o ponto $(x_{p} ,y_{p} )$ da função f(x) de ponto de máximo se, para todo x ∈ [a, b], f(x) < f $(x_{p})$ . Chamaremos o ponto $(x_{q} ,y_{q} )$ da função f(x) de ponto mínimo se, para todo x ∈ [a, b], $f(x) > f(x_{q})$ .

Exemplo: Determinar o máximo e o mínimo da seguinte função

$f(x) = \begin{cases} -x, & x\leq 2 \\ x-4, & 2 < x < 4 \\8-2x,&x\geq 4 \end{cases}$

$Dominio:\begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:-\infty \: < x < \infty \\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(-\infty \:,\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

$\mathrm{Minimo}\left(2,\:-2\right),\:\mathrm{Maximo}\left(4,\:0\right)$

Podemos representar a função e ver que em x = 2 há um mínimo e em x = 4 máximo como podemos observar no gráfico em anexo.

Função crescente e decrescente

Dada uma função f: A → B, e A' um subconjunto de A( A'⊂ A). Sejam x1 e x2 ∈ A', tais que x1 < x2.

Se f(x1) < f(x2), a função é crescente em A';
Se f(x1) > f(x2),a função é decrescente em A';
Se f(x1) = f(x2),a função é constante em A'.

Domínio

O conjunto domínio de uma função é formado pelos valores que as abscissas podem assumir. Existem funções que não estão definidas para todos os valores de suas variáveis. Existem funções que não estão definidas para todos os valores de suas variáveis.

Chama-se domínio de uma função e se expressa por D(f) o conjunto de valores que a variável x pode assumir. O domínio é formado por todos os valores da variável independente que tem imagem. Quando uma função é representada por uma sentença aberta como y = f(x), está subentendido que o domínio da função é um subconjunto de números reais.

Estudo completo de uma função

Ao realizar o estudo de uma função, o que se faz é estudar todas as suas propriedades: continuidade, domínio, imagem, pontos de intersecção com os eixos, crescimento, decrescimento, mínimos, simetrias e periodicidade. Sendo assim podemos estudar a função dada: $f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{6}x^2-\frac{2}{3}x\:$

Domínio: A função não tem pontos indefinidos nem restrições de domínio. Portanto, o domínio é $-\infty \: < x < \infty \:$ ;
Imagem: A imagem de todos os polinómios de grau ímpar são todos os números reais. Portanto, sua imagem é $-\infty \: < f\left(x\right) < \infty \:$ .

$\mathrm{Pontos\:de\:interseccao\:com\:o\:eixo\:de}\:\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{6}x^2-\frac{2}{3}x$ $:\mathrm{X\:intersepta}:\:\left(0,\:0\right),\:\left(\frac{1+\sqrt{33}}{4},\:0\right),\:\left(\frac{1-\sqrt{33}}{4},\:0\right),\:\mathrm{Y\:intersepta}:\:\left(0,\:0\right)$

Pontos Extremos

Suponha que x = c é um ponto crítico de f(x) então,

Se f'(x) > 0 à esquerda de x = c e f'(x) < 0 a direita de x = c então x = c é um máximo local;
Se f'(x) < 0 à esquerda de x = c e f'(x) > 0 a direita de x = c então x = c é um mínimo local;
Se f'(x) possui o mesmo sinal em ambos os lados de x = c, então x= c não é nem máximo nem mínimo local.

Seguindo os passos anteriores, teremos