Question

ESTUDE COM RELAÇÃO A MAXIMOS E MINIMOS LOCAIS A FUNÇÃO:
f(x,y) = -x²+y²+2xy+4x-2y
AJUDA???

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

Se a função assume máximo e mínimos, então neste ponto sua derivada parcial é nula

f(x,y) = -x²+y²+2xy+4x-2y

primeiro vamos derivar em relação a x

f'(x,y) = -2x+0+2y+4 = 0

x = y + 2

Em relação a y

2y + 2x - 2 = 0

y = 1 - x

Substituindo na equação anterior

x = 1 - x + 2

2x = 3

x = 3/2

y = -1/2

ponto crítico = (3/2 ; -1/2)

agora a gente precisa ver se isso é um max ou um min, para isso a gente reescreve a função completanto quadrados

f(x,y) = -x²+y²+2xy+4x-2y

f(x,y) = +y²-2y + 1 - 1 - x²+ 4x - 4 + 4 +2xy

f(x,y) = (y - 1)² - (x - 2)² + 3 + 2xy

valor da função no ponto crítico

f(3/2;-1/2) = (-3/2)² - (-1/2)² + 3  - 2*3/4

= 9/4 -1/4 -6/4 + 3

= 1/2 + 3

= 7/2 = 3,5

Se a gente olhar pra função nos arredores do ponto crítico pelo x

f(x; -1/2) = -x² + 3x + 5/4 , você tem uma parábola com concavidade pra baixo

Se olhar nos arredores do ponto crítico pelo y

f(3/2;y) = y² + y - 15/4, uma parábola com concavidade pra cima

Então não é nem um max nem um min, a gente chama esse ponto crítico de ponto de sela.