Estude a continuidade da função
f(x) =
1, x ∈ Q
0, x ∈ R - Q
rodrigoreichert:
A questão está um pouco confusa. Tente esclarecer.
Interessante..
Sem muita formalidade, garantidamente sabemos que
• Entre dois números racionais, existe algum irracional;
• Entre um racional e um irracional, existe algum racional;
• Entre um racional e um irracional, existe algum irracional.
Considere um ponto x₀ ∈ R. Vamos fazer uma análise à esquerda de x₀.
Suponha x₀ ∈ Q (racional), logo f(x₀) = 1.
• Entre dois números racionais, existe algum irracional;
• Entre um racional e um irracional, existe algum racional;
• Entre um racional e um irracional, existe algum irracional.
Considere um ponto x₀ ∈ R. Vamos fazer uma análise à esquerda de x₀.
Suponha x₀ ∈ Q (racional), logo f(x₀) = 1.
Usando o que fora dito inicialmente,
• Existe um δ₁ > 0 tal que x₀ – δ₁ é racional;
• Mas... também existe um δ₂, onde δ₁ > δ₂ > 0, tal que x₀ – δ₂ é irracional;
• Mas... também existe um δ₃, onde δ₁ > δ₂ > δ₃ > 0, tal que x₀ – δ₃ é racional.
⋮
• Existe um δ₁ > 0 tal que x₀ – δ₁ é racional;
• Mas... também existe um δ₂, onde δ₁ > δ₂ > 0, tal que x₀ – δ₂ é irracional;
• Mas... também existe um δ₃, onde δ₁ > δ₂ > δ₃ > 0, tal que x₀ – δ₃ é racional.
⋮
Veja que podemos seguir esses passos indefinidamente, sempre nos aproximando mais de x₀ (pela esquerda), mas passando por pontos que são ora racionais, ora irracionais, bastando escolher um δ conveniente a cada passo, já que garantidamente ele sempre existe. Dessa forma, o valor de f pode oscilar de forma imprevisível (ser 1 ou 0), a depender do δ escolhido (por menor que ele seja).
Conclusão: f é descontínua em todos os pontos do seu domínio.
Conclusão: f é descontínua em todos os pontos do seu domínio.
A análise pela direita é feita de forma análoga.
E de forma análoga podemos fazer essa mesma análise, considerando x₀ ∈ R – Q (irracional), aproximando pela esquerda e pela direita também.
Soluções para a tarefa
Respondido por
1
Pelo enunciado, vemos que a função vale "1" para o conjunto dos números racionais "Q", por outros lado, temos que a função vale "0" para o conjunto "R - Q", note que o conjunto "R - Q" corresponde ao conjunto dos números irracionais.
Portanto, verificamos que a função não é contínua em todo o domínio pois ela dá "saltos", ou seja enquanto a função vale "1" para números como "0", "1", "-2", "6/7", "9/4" etc.
Ela valerá "0" para números como "π", "e", etc.
Portanto, verificamos que a função não é contínua em todo o domínio pois ela dá "saltos", ou seja enquanto a função vale "1" para números como "0", "1", "-2", "6/7", "9/4" etc.
Ela valerá "0" para números como "π", "e", etc.
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