Question

Estudamos na geometria analítica a distâncias entre os elementos, desde que pelo menos um deles seja o ponto, ou seja, estudamos a distância entre dois pontos, entre um ponto e uma reta e um ponto e um plano. Nos casos em que é necessário calcular a distância entre uma reta e um plano, escolhemos um ponto da reta e calculamos a distância até o plano ou vice-versa.

Answer 1

É correto afirmar d) d = 2√11/11.

Completando a questão:

Dados a reta

{x = -2 - 3t

r: {y = 4t

{z = 1 - 2t

e o plano π: 2x + 3y + 3z + 5 = 0.

Sabendo que d é a distância entre a reta r e o plano π, é correto afirmar:

a) d = √22/22

b) d = √22/11

c) d = √11/22

d) d = 2√11/11.

Solução

Considere o plano ax + by + cz = d e um ponto P = (x₀, y₀, z₀).

Definimos como distância entre ponto e plano a fórmula $d=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

Tal fórmula serve também para calcular a distância entre um plano e uma reta.

Então, precisamos pegar um ponto da reta.

Das equações paramétricas da reta r, temos um ponto, que é (-2,0,1).

Já da equação do plano, temos que o vetor normal é igual a (2,3,3).

Substituindo esses dados na fórmula da distância, obtemos:

$d=\frac{|2.(-2)+3.0+3.1+5|}{\sqrt{2^2+3^2+3^2}}$

$d=\frac{|-4+3+5|}{\sqrt{4+9+9}}$

$d=\frac{|4|}{\sqrt{22}}$.

Como |4| = 4, então:

$d=\frac{4}{\sqrt{22}}$.

Agora, precisamos racionalizar a fração.Para isso, basta multiplicar o numerador e o denominador por √22:

$d=\frac{4}{\sqrt{22}}.\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$

$d=\frac{4\sqrt{22}}{22}$

$d=\frac{2\sqrt{22}}{11}$.

Alternativa correta: letra d).

Answer 2

Resposta:

Mas a resposta é 2raiz quadrada de 22/11 ou 2raiz quadrada de 11/11?