Question

Estou estudando estatísticas e tenho essa questão como atividade, não sei como fazer alguém poderia me ajudar.
Enunciado da questão.
02. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si oito vezes. Encontre a probabilidade de o time A ganhar três ou quatro jogos

Answer 1

Seja X a variável aleatória que conta o número de vezes que o time A ganha nas 8 partidas.

Sem informações adicionais, dizemos que a probabilidade do time A ganhar é $\frac{1}{2}$ (50%), e a de perder também.

Além disso, assumindo independência entre o resultado das partidas, podemos concluir que X possui distribuição binomial, com parâmetros n = 8 e p = 1/2, pois conta o número de sucessos (vitórias do time A) em n replicações de um experimento (partidas)

Com isso, as probabilidades de X são especificadas pela função

$\mathsf{P(time\,A\,ganhar\,k\,vezes)=P(X=k)=}\begin{cases}\mathsf{\binom{8}{k}\,(\frac{1}{2})^{k}\,(\frac{1}{2})^{8-k},\,k\in\{0,1,\dots,8\}}\\\mathsf{0,\,\,caso\,contr\'ario}\end{cases}$

Note que se $\mathsf{k\in\{0,1,\dots,8\}}$, então

$\mathsf{P(X=k)=\displaystyle\binom{8}{k}\cdot\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^{k}\cdot\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^{8-k}=\binom{8}{k}\cdot\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^{8}}$
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Queremos a probabilidade do time A ganhar exatamente 3 jogos ou exatamente 4 jogos, isto é,

$\mathsf{P(X\in\{3,4\})=P(X=3)+P(X=4)}$

Usando a função de probabilidade de X, temos

$\displaystyle\mathsf{P(X\in\{3,4\})=\binom{8}{3}\cdot\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^{8}+\binom{8}{4}\cdot\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^{8}=\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^{8}\cdot\bigg[\binom{8}{3}+\binom{8}{4}\bigg]}$

Vamos calcular $\binom{8}{3}$ e $\binom{8}{4}$:

$\displaystyle\bullet\,\,\mathsf{\binom{8}{3}=\dfrac{8!}{3!(8-3)!}=\dfrac{8\cdot7\cdot6\cdot5!}{3\cdot2\cdot1\cdot5!}=8\cdot7=56}\\\\\\\bullet\,\,\mathsf{\binom{8}{4}=\dfrac{8!}{4!(8-4)!}=\dfrac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot4!}=7\cdot2\cdot5=70}$

Então:

$\displaystyle\mathsf{P(X\in\{3,4\})=\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^{8}\cdot\big[56+70\big]}\\\\\\\mathsf{P(X\in\{3,4\})=\dfrac{1}{256}\cdot126}\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{P(X\in\{3,4\})=\dfrac{63}{128}\approx49,22\%}}}$