Question

estou em duvida como fazer essa. a resposta é a E.​

Answer 1

Resposta: A área $S$ do quadrilátero $AMBN$, em função de $\overline{BC}=a$, é $S ={\frac{a^{2}\sqrt{3}}{8}}$. Portanto, a alternativa (E) está correta.

Explicação passo-a-passo:

A questão pede a área do quadrilátero $AMBN$, em função do comprimento $a$ da hipotenusa $\overline{BC}$. Para melhor compreensão do que será feito nesta resolução, anexei uma figura retratando a construção geométrica indispensável para solucionar o exercício. Analisando a figura anexada, fica fácil perceber que o cateto $\overline{AB}$ mede metade da hipotenusa $\overline{BC}=a$, ou seja, $\overline{AB}=\frac{a}{2}$. É sabido que $\overline{BN}$ // $\overline{AM}$ e $\overline{AN}$ // $\overline{BM}$, então o quadrilátero $AMBN$ é paralelogramo, e assim como todo paralelogramo, ele possui os lados opostos paralelos e congruentes. O segmento de reta $\overline{AM}$ é a mediana relativa a hipotenusa $\overline{BC}=a$, logo $\overline{AM}=\frac{\overline{BC}}{2}=\frac{a}{2}$, provando então que o quadrilátero convexo $AMBN$ é um losango. É sabido que todo losango também é paralelogramo, com isso suas diagonais, além de serem perpendiculares, interceptam-se em seus respectivos pontos médios. A fórmula utilizada para o cálculo da área $S$ de um losango de diagonais maior e menor, dadas por $D$ e $d$, respectivamente, é dada por $S=\frac{Dd}{2}$. Sendo assim, a área $S$ do losango $AMBN$, em função de $\overline{BC}=a$, é dada por:

$S=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a}{2}.\frac{1}{2}$ ⇒

$S= {\frac{a^{2}\sqrt{3}}{8}}$

Abraços!