Question

Estou desesperada, tenho uma prova de calculo amanhã, e acabei de começar a ver introdução a limites, tive apenas 2 aulas e não consigo entender pelos livros ): por favor, eu imploro ajuda ): a letra (a), eu consegui fazer, portanto podem pular essa parte, na verdade nem é preciso resolver, só me expliquem como faço )))))): me desculpe pelos baixos pontos, o site não me deixa colocar mais

O ponto P (4,2) está sobre a curva y = √x.
a) se Q for o ponto (x, √x), encontre a inclinação da reta secante (use até a sexta casa decimal) para os seguintes valores de x:

1) 5
2) 4,5
3) 4,1
4) 4,01
5) 4,001
6) 3
7) 3,5
8) 3,9
9) 3,99
10) 3,999

b) Usando o resultado da parte (a), encontre o valor da inclinação da reta tangente a curva em P (4,2).
c) Usando a inclinação da parte (b), encontre uma equação da reta tangente a curva em P (4,2).

Answer 1

Temos que f(x) = √x

Então temos que F: R+->R+

Aplicando a definição de Derivada temos:

Lim(x->p) = (f(x) - f(p))/(x-p)
lim(x->4) = (√x - 2) / (x - 4) // Da uma indeterminação então temos que ajeitar
lim(x->4) = (√x - 2) / (√x - 2)(√x + 2)
lim(x->4) = 1/4

f(x) = √x 
f ' (x) = (1/2) * (1/√x)   
f ' (2) = (1/2) * (1 / √4 ) = 1/4

Answer 2

O ponto P (4,2) está sobre a curva y = √x.
a) se Q for o ponto (x, √x), encontre a inclinação da reta secante (use até a sexta casa decimal) para os seguintes valores de x:

P= (4,2)
Q= (x, √x)

a inclinação da reta será
$m= \frac{(Q_y-P_y)}{(Q_x-P_x)}$

é igual calcular o coeficiente angular de uma equação do primeiro grau
M = coeficiente angular
Px,py = coordenadas do ponto P
Qx Qy = coordenadas do ponto Q

temos
$m= \frac{ \sqrt{x} -2}{x-4}$

quando x =5
$m= \frac{ \sqrt{5} -2}{5-4} =0,236068$

para x =4,5
$m= \frac{ \sqrt{4,5} -2}{4,5-4}=2,42641$

ai vc aplica isso para todos os numeros
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b) Usando o resultado da parte (a), encontre o valor da inclinação da reta tangente a curva em P (4,2)

a função continua sendo
$y= \sqrt{x}$

nos queremos saber a inclinação da reta tangente a essa curva no ponto P(4,2)

para isso vc calcula a derivada da função ..no ponto P(4,2)
a derivada da função = limite com h tendendo a 0

a derivada da função $\sqrt{x}$ ela é bem comum então deve ser conhecida...vale $\frac{1}{2 \sqrt{x} }$ (1sobre o dobro da raíz de x)

se vc fosse calcular por definição de limite seria
$\boxed{ \lim_{h \to 0} \frac{ \sqrt{x+h} - \sqrt{x} }{h} }$

ai vc iria encontrar como resposta $\frac{1}{2 \sqrt{x} }$
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agora calculando o coeficiente angular no ponto P(4,2)
vou substituir x por 4 na derivada
$m= \frac{1}{2 \sqrt{x} } \\\\m= \frac{1}{2 \sqrt{4} } = \frac{1}{2*2} = \frac{1}{4}$
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c) Usando a inclinação da parte (b), encontre uma equação da reta tangente a curva em P (4,2).

ai é simples..a reta tangente é uma equação do primeiro grau
$y=m*(x-x_0)+y_0$

m = coeficiente angular (1/4)
x0 e y0 é um ponto conhecido dessa reta  P(4,2)

substituindo os valores
$Reta.T= \frac{1}{4} (x-4)+2\\\\Reta.T= \frac{x}{4} - \frac{4}{4} +2\\\\\ Reta.T= \frac{x}{4} -1+2\\\\\boxed{Reta.T= \frac{x}{4}+1}$