Question

Estime o volume molar do dioxido de carbono (CO2) a 500 k e 100 atm. Admitindo que o gás se comporte como um gás de Van der Waals.

Answer 1

Se o gás se comporta como gás de Van der Waals, então ele não se comporta como gás ideal. Usamos então a equação de Van der Waals:
$\left( P+{\frac {a}{{\nu}^{2}}} \right) \left( \nu-b \right) ={\it RT}$
Onde v é o volume molar:
Trabalhando a função, chegamos a um polinômio do terceiro grau:
$P{v}^{3}- \left( Pb+RT \right) {v}^{2}+av-ab$

Temos:
T=500 K
P=100 atm
R=0,082 atm.L/mol.K
Pegando os valores de a e b para o CO2 em alguma tabela de propriedades termodinâmicas, temos:
a=3,592 L².atm/mol²
b=0,04267 L/mol
Substituindo na equação
$100{v}^{3}- \left( 100.0,04267+0,082.500 \right) {v}^{2}+3,592v-3,592.0,04267$
Chegamos em:
$100\,{v}^{3}- 45,267\,{v}^{2}+ 3,592\,v- 0,15327$

Como é uma função do terceiro grau, é preciso métodos adequados para extrair a raiz (exitem vários, de forma manual pode ser feito pelo método da bisecção, de Newton-Raphson... ou com uma calculadora ou programa que resolva equações do terceiro grau).
Chegaremos a três raízes, sendo duas raizes complexas e uma real (se fizer por algum método manual achará apenas a real). A que nos interessa é a real:
v=0,366L/mol

É interessante comparar com o volume caso o gás fosse ideal:
P.V=n.R.T  --->  V/n=R.T/P  -->  v=R.T/P
v=0,082.500/100=0,41L/mol
(inclusive esse valor pode ser usado para a estimativa inicial nos métodos de determinação das raízes).

O volume real deu menor que o Ideal, pois em altas pressões as moléculas de gás interagem mais entre si (e essa interação o modelo ideal não considera).

Qualquer dúvida, pergunte!  =)