Question

Estando um corpo imerso sobre um fluido viscoso e preso na extremidade de uma mola, executa um MHA amortecido no regime subcritico, descrita pela seguinte equação:

$x(t) = 4 {e}^{ - 3t} cos(4t + .0. )$
.0. representa o zero cortado

Para t=0, o corpo possui velocidade nula.

A) Determine a frequência de oscilação Wo, desconsidere a força viscosa, no sistema massa - mola.

B) Determine a fase inicial do movimento .0.

C) Determine o tempo necessário para a amplitude do movimento ser reduzido à metade do valor inicial.

preciso urgentemente da resposta pode ser somente a resposta

Answer 1

Vamos lá...

Aplicação:

"QUESTÃO A".

Observe que o exercício nos apresenta uma relação entre um sistema massa-mola, por isso, devemos nos lembrar das relações algébricas que relaciona a frequência angular de um sistema amortecido e a frequência natural entre ambos, veja:

$x(t) = A {e}^{ - \frac{ \gamma }{2} \times t } cos(w \times t + θ). \\ \\ wo = \sqrt{ {w}^{2} + \frac{ \gamma \times \gamma }{4} }$

Perceba, também, que para o instante inicial a velocidade estabelecida é nula, com isso, podemos definir a nossa velocidade angular e, encontrar nosso valor correspondente a gama deixando o mesmo em evidencia, a partir da sua expressão, siga:

$Para \:( w = 4rad/s).\\ - - - - - - - - - - - - - - - - - - \\ \frac{ \gamma }{2} = 3 \\ \gamma = 3 \times 2. \\ \gamma = 6 \\- - - - - - - - - - - - - - - - - - \\ wo = \sqrt{ {4}^{2} + \frac{ {6}^{2} }{4} } \\ \\ wo = \sqrt{16 + \frac{36}{4} } \\ \\ wo = \sqrt{16 + 9} \\ wo = \sqrt{25} \\ wo = 5 \: radianos \: po r \: segundos \: <- resposta \: do \: item \: A.$

"QUESTÃO B".

Para determinarmos a fase inicial do Movimento Harmônico Amortecido, devemos encontrar a velocidade do mesmo, no entanto, já sabemos que a função da velocidade no MHA pode ser definida pela derivação de sua função, veja:

$x(t) = - 12 {e}^{ - 3t}cos(4t + θ). \\ - 16 {e}^{ - 3t}sen(4t + θ). \\- - - - - - - - - - - - - - - - - - \\ utilizando \: Lei \: de \: Leibniz \: \\- - - - - - - - - - - - - - - - - - \\ x(0) = 0. \\ \\ - 12cos(θ) = 0. \\ - 16sen(θ) = 0. \\ \\ tan(θ) = \frac{co}{ca} \\ \\ tan(θ) = - \frac{12( \div 4)}{16( \div 4)} \\ \\ tan(θ) = - \frac{3}{4} \\ \\ θ = arctg( - \frac{3}{4} ) \: < - resposta \: do \: item \: B.$

"QUESTÃO C".

Como já conhecemos a amplitude do movimento inicial e o mesmo equivale a 4, e pretende-se descobrir o tempo necessário para o sistema ficar com a amplitude em sua metade em relação a inicial, ou seja, equivalendo a 2, podemos verificar apenas o declínio da amplitude do movimento, por conseguinte, igualando sua resultante ao valor de sua metade, assim:

$Ã(t) = 4 {e}^{ - 3t} \\ 4 {e}^{ - 3t} = 2. \\ \\- - - - - - - - - - - - - - - - - - \\ ln(x) = log_{e}(x) \\- - - - - - - - - - - - - - - - - - \\ \\ {e}^{ - 3t} = \frac{2( \div 2)}{4( \div 2)} \\ \\ {e}^{ - 3t} = \frac{1}{2} \\ \\ - 3t = ln( \frac{1}{2} ) \\ \\ - 3t = ln( {2}^{ - 1} ) \\ - 3t = - 1 ln(2) < - multiplique \: ambos \: os \: membros \: por \: ( - 1). \\ 3t = ln(2) \\ \\ t = \frac{ ln(2) }{3} < - resposta \: do \: item \: C.$

Obs: sua pergunta fora postada na matéria incorreta, o correto seria em Física, mas não me atentei e acabei respondendo, entretanto já foi...


Então é só isso, caso de dúvidas pergunte :))


Espero ter ajudado.