Question

Estabelecer a equação da parábola, sabendo que: vértice (0,0); simetria em relação ao eixo dos y e passando pelo ponto P(2, -3). Problema de Geometria Analítica, alguém poderia me explicar (por gentileza) detalhadamente a solução desse problema.
Desde já agradeço ^^.

Answer 1

Primeira coisa a informar, é a expressão fundamental da equação do segundo grau:

$y = ax^2+bx+c,\ onde\ \underline{a},\ \underline{b}\ e\ \underline{c}\ s\~ao\ os\ termos\ da\ equa\c{c}\~ao$


Agora a análise inicial:

Temos um ponto vértice (0,0), nos dizendo que x vale zero e y vale 0.

$0 = a(0)^2+b(0)+c\\\\ Encontrando\ \underline{c}:\\\\ \boxed{c=0}$


Segunda informação que temos é, a simetria ao eixo y. Ou seja, a parábola está igualmente dividade perante o eixo y, logo, teremos um ponto na posição exatamente oposta ao ponto P(2, -3), que equivale Q(-2, -3) (ponto definido por mim, baseado na simetria do eixo y).


A partir daí, basta fazer as substituições dos valores de cada ponto na equação fundamental.

Para P(2,-3):

$-3=a(2)^2+b(2)+0\\\\ 4a+2b=-3$


Para Q(-2,-3):

$-3=a(-2)^2+b(-2)\\\\ 4a-2b=-3$


Agora é só resolver o sistema de equações:

$\left\{\begin{array}{c}4a+2b=-3\\4a-2b=-3\end{array}$


$Isolando\ \underline{b}\ na\ primeira\ equa\c{c}\~ao:\\\\ 2b=-3-4a\\\\ b=\dfrac{-3-4a}{2}\\\\\\ Trocando\ pelo\ \underline{b}\ na\ segundo\ equa\c{c}\~ao,\ encontraremos\ o\ valor\ de\ \underline{a}:\\\\ 4a-2\left(\dfrac{-3-4a}{2}\right)=-3\\\\ 4a-\not2\left(\dfrac{-3-4a}{\not2}\right)=-3\\\\ 4a+3+4a=-3\\\\ a=-\dfrac{6}{8}\\\\ \boxed{a=-\dfrac{3}{4}}$


Agora é só trocar o valor de a em qualquer uma das equações do sistema, para encontrarmos o valor de b:

$Usando\ a\ primeira\ equa\c{c}\~ao:\\\\ 4\left(-\dfrac{3}{4}\right)+2b=-3\\\\ \not4\left(-\dfrac{3}{\not4}\right)+2b=-3\\\\ -3+2b=-3\\\\ 2b=-3+3\\\\ \boxed{b=0}$


Encontrado o valor dos 3 termos (a, b e c), é só montar a equação final:

$y=\left(-\dfrac{3}{4}\right)x^2 + 0x + 0\\\\\\ Equa\c{c}\~ao\ Reduzida:\\\\ \boxed{\boxed{y=-\dfrac{3}{4}x^2}\ \ ou\ \ \boxed{y = -0,75x^2}}\\\\\\ Equa\c{c}\~ao\ Geral:\\\\ \boxed{\boxed{3x^2+4y=0}}$



Adicionei o gráfico em anexo, que demonstra a parábola referente a função encontrada.


Espero ter ajudado.
Bons estudos!

Answer 2

Resposta:

3x^2+4x=0

Explicação passo-a-passo:

v=(0,0)

p=(2,-3)

Bom como a parábola é de concavidade para baixo e na horizontal vamos utilizar a fórmula.

x^2=2p*y*

Próximo passo é substituir os valores do ponto p=(2,-3) na formula para acharmos o valor do p.

2^2=2*p*-3

4=-6p

4/-6=p

p=2/-3**

Agora vamos substituir o valor de p na formula.

x^2=2(2/-3)*y

x^2=4/-3*y

-3x^2=4y

-3x^2-4y=0 * (-1)

Resposta:

3x^2+4y=0