Question

Essa também é boa, vamos lá?

Answer 1

Resolução da questão, veja bem:

A solução do PVI em questão é:

$\sf{y=2x^3+x+2}$

Resolver o PVI dado a seguir:

$\sf{PVI}=\begin{cases} \sf{\dfrac{dy}{dx}-6x^2-1=0}\\ \\ \sf{y(1)=5} \end{cases}$

Para encontrarmos a solução desse Problema de Valor Inicial, devemos, a priori, resolver a equação diferencial dada, e, a posteriori, substituirmos as condições dadas na questão para encontrar a constante C₁. Para resolvermos essa E.D. usaremos o método da separação de variáveis:

• Solução da E.D.

$\sf{y'-6x^2-1=0}~\to~\sf{Isola~o~y'-\;(Separando~as~vari\acute{a}veis)}\\ \\ \sf{y'=6x^2+1}~\to~\sf{Integra~em~ambos~os~lados!}\\ \\ \sf{y=\displaystyle\int(\sf{6x^2+1})\;dx}\\ \\ \\ \sf{y=\displaystyle\int(\sf{6x^2})\;\sf{dx}+\displaystyle\int(\sf{1})\;dx}~\to~\sf{Integre~pela~regra~da~pot\hat{e}ncia!}\\ \\ \\ \sf{y=6\cdot \dfrac{x^3}{3}+x}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\red{y=2x^3+x+C_1}}}}}~\checkmark~$

Até o momento, encontramos a solução da equação diferencial dada na questão. Para continuarmos, teremos que aplicar as condições dadas no enunciado. Faremos isso substituindo x = 1 e fazendo y(1) = 5:

• Solução do PVI:

$\sf{y=2x^3+x+C_1}\\ \\ \sf{5=2\cdot1^3+1+C_1}\\ \\ \sf{5=3+C_1}\\ \\ \sf{C_1=5-3}\\ \\ \large\boxed{\boxed{\red{\sf{C_1=2}}}}~\checkmark~$

E, para finalizarmos, vamos inserir C₁ = 2 na solução de y:

$\sf{y=2x^3+x+C_1}\\ \\ \large\boxed{\boxed{\boxed{\blue{\sf{y=2x^3+x+2}}}}}~\checkmark~$

Ou seja, descobrimos que a solução do PVI dado é y = 2x³ + x + 2.

Espero que te ajude!

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