Question

Essa é uma questão bem legal, mas estou em dúvida! Dei as respostas mas quero saber como é a resolução... Quem puder me ajudar agradeço :*
Considere que, no início da década passada, o Brasil tinha 1,72 advogados por 1000 habitantes, e que, ao longo daquela década, a população brasileira aumentou cerca de 12,5%, enquanto o número de advogados aumentou cerca de 25%.
1) É correto calcular, com base nesses dados, que o número de advogados por 1000 habitantes, no final da década, para, aproximadamente:
Resposta: 1,91
2) Supondo-se que o número de advogados tenha aumentado, a cada ano daquela década, segundo uma progressão geométrica, e que essa progressão continue com a mesma razão, é correto estimar, nessas condições, usando-se log~ 2,32, se preciso, que o tempo necessário para que o número de advogados dobre é de, aproximadamente:
Resposta: 31 anos

Answer 1

Exercícios como o 1 eu gosto de fazer com números pq fica mais fácil de explicar. Você pode fazer com x também se quiser.

1) No início vamos dizer que temos 100 000 habitantes. Logo, 172 serão advogados. Passando uma década, e considerando o aumento citado, teremos 112 500 habitantes e 215 advogados.
Fazendo a razão:
215/112,5 = 1,91 advogados por 1000 habitantes

2) Agora devemos lembrar aquela fórmula que você deve ter apreendido para juros compostos
C = C0(1+ taxa)^tempo

Chamando de n o número de advogados, nos temos:

2n = n(1 + 0,25)^t
2 = (1,25)^t
t = log1,25(2)

Pela mudança de base do log:

t = log1,25(2) = log(2)/log(1,25) = 0,3/0.096 =~ 3,1 anos

Answer 2

1)Sejam
a=número incial de advogados
p=número inicial de pessoas da população.

Assim, no início da década tinhamos a/p=1,72/10000

Ora, como a população aumentou 12,5%, segue que ao final da decáda a população passou a ser 1,125p. Já o número de advogados passou a ser 1,25a, pois o número de advogados aumentou 25% durante a referida década.

Assim, a nova proporção é 1,25a/1,125p = 1,11a/p=1,11 x 1,72/10000=1,91/10000, pu seja, 1,91 advogados por cada 10.000 habitantes.

2)No seu enunciado não saiu o log dado...mas a solução é a seguinte:

Ora, como número inicial de advogados é a e o seu aumento é suposto em PG. se q for a razão dessa PG, segue que os números de advogados ao longo da primeira década são

a, aq, aq^2, ...,aq^9

mas ocorre que ao final da primeira década o número de advogados tinha aumentado 25% em relação ao número inicial, ou seja, passou a ser 1,25a. Assim, temos que

1,25a=aq^9 ==> 1,25=q^9 ==> q=(1,25)^{1/9}=1,025

Supondo que o número de advogados dobre em n anos, devemos ter

2a=a(1,0251)^{n-1} ==> 2=(1,0251)^{n-1} ==> log2=(n-1)log(1,025) ==>n=31 (valores aproximados)