Question

essa disciplina aprofundamos os estudos sobre os Vetores no R³, utilizando a representação em três dimensões, ou seja, no espaço. Para tanto, é necessário utilizar três coordenadas: o eixo x (abscissas), o eixo y (ordenadas) e o eixo z (cotas).

Um engenheiro fez o levantamento de uma região demarcando pontos fundamentais, A (1, -5, 9), B (-3, 4, 8) e C ( 7, 1,6), com o propósito de determinar as coordenadas dos vetores (), os módulos respectivos e o valor do cosseno do ângulo determinado pelos dois vetores, com o objetivo de estudar o desempenho de um determinado corpo que se desloca do ponto B ao A e depois do B ao C.

Colaborando com esse engenheiro, apresente:

a.) As coordenadas dos vetores indicados.

b.) O módulo de cada vetor indicado.

c.) O valor do cos β, sendo β a medida do ângulo determinado pelos dois vetores.

Answer 1

a.) As coordenadas dos vetores indicados

BA= A-B=(1,-5,9)-(4,-9,1)=(4,-9,1)
BC=C-B=(7,1,6)-(-3,4,8)=(10,-3,-2)

b.) O módulo de cada vetor indicado

║BA║=√4²+(-9)²+1² = 7√2
║BC║=√10²+(-3)²+(-2)² = √133

c.) O valor do cos β, sendo β a medida do ângulo determinado pelos dois vetores

BA.BC=(4,-9,1)×(10,-3,-2)=40+27-2=65

BA.BC=║BA║.║BC║.cosβ

cosβ=(BA.BC)/║BA║.║BC║

cosβ=65/(7√2×√113)      cosβ=65/7√226

cosβ≈0,6176   β=cos⁻¹(0,617)    β≈51,9°

senβ=sen(51,9°)      senβ≈0,786

Outro forma

║BA×BC║=║BA║.║BC║.senβ

senβ=(║BA×BC║)/║BA║.║BC║


BA×BC=     ║ i     j   k ║  = 18i+10j-12k+90k+3i+8j= 21i+18j+78k
                   ║4   -9   1║
                   ║10 -3  -2║   

║BA×BC║=√21²+18²+78² = 3√761

senβ=3√761/(7√2×√113)   senβ≈0,786