Question

(ESPM-SP) A soma das raízes reais da equação x - |x - 2| = x . |x-1| é igual a:
a) -1
b) 0
c) 3
d) 2
e) 1

A alternativa correta é a letra c, mas qual a resolução? Já tem a pergunta no site, mas sem resolução ou resposta correta. Ajuda aí, glr.

Answer 1

x - |x - 2| = x . | x -1|
Iremos separa tudo para a esquerda:

x - |x - 2| - x . |x - 1| = 0

Iremos analisar todas as possibilidades.

Quando as dois módulos serão positivos:
x - (x - 2) - x . (x - 1) = 0 então x - 2 >= 0, x - 1 >= 0 ou seja x >=2
x - x + 2 - x² + x = 0
-x² + x + 2 = 0
x² - x - 2 = 0
$x = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \\\\ x = \dfrac{1\pm \sqrt{1^2-4.1.(-2)} }{2} \\\\ x = \dfrac{1\pm \sqrt{9} }{2} \\\\ x' = \dfrac{1+3}{2} = 2\\ \\ x" = \dfrac{1-3}{2} = -1$
Analisando nas nossa condições, temos que
S = {2}

Quando o primeiro módulo será negativo e o segundo sera positivos:
x -(- (x - 2) )- x . (x - 1) = 0 então x - 2 < 0, x - 1 >= 0 ou seja 1 < = x < 2
x + x - 2 - x² + x = 0
-x² + 3x - 2 = 0
x² - 3x + 2 = 0
$x = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \\\\ x = \dfrac{3\pm \sqrt{(-3)^2-4.1.2} }{2} \\\\ x = \dfrac{3\pm \sqrt{1} }{2} \\\\ x' = \dfrac{3+1}{2} = 2\\ \\ x" = \dfrac{3-1}{2} = 1$
Analisando nas nossa condições, temos que:
S = {1}

Quando o primeiro módulo será positivo o segundo sera negativo:
x - (x - 2) - x . (-(x - 1) = 0 então x - 2 >= 0, x - 1 < 0
x - x + 2 - x (-x + 1) = 0
2 + x² - x = 0
x² - x + 2 = 0
$x = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \\\\ x = \dfrac{-1\pm \sqrt{(-1)^2-4.1.2} }{2} \\\\ x = \dfrac{1\pm \sqrt{-7} }{2}$
x não pertence aos reais

Quando as dois módulos serão negativos:
x - (-(x - 2) ) - x . (-(x - 1)) = 0 então x - 2 < 0, x - 1 < 0 ou seja, x<1
x + x - 2 - x (- x + 1) = 0
2x - 2 + x² - x = 0
x² + x - 2 = 0
$x = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \\\\ x = \dfrac{1\pm \sqrt{1^2-4.1.(-2)} }{2} \\\\ x = \dfrac{1\pm \sqrt{9} }{2} \\\\ x' = \dfrac{-1+3}{2} = 1\\ \\ x" = \dfrac{-1-3}{2} = -2$
Analisando nas nossa condições, temos que:
S = {-2}


Somando as raízes temos que:

-2 + 1 + 2 = 1

Alternativa e

=)

Answer 2

Vamos particionar o conjunto dos reais nos pontos em que as expressões em módulo mudam de sentença.


•   Para   $x< 1:$

         Temos

         $x-2<1-2\\\\ \Rightarrow\quad x-2<-1\\\\ \Rightarrow\quad x-2<0\\\\ \Rightarrow\quad |x-2|=-(x-2)\\\\ \Rightarrow\quad |x-2|=2-x$


          $x-1< 1-1\\\\ \Rightarrow\quad x-1< 0\\\\ \Rightarrow\quad |x-1|=-(x-1)\\\\ \Rightarrow\quad |x-1|=1-x$


         e a equação fica

         $x-(2-x)=x\cdot (1-x)\qquad (x<1)\\\\ x-2+x=x-x^2\\\\ x^2+x-2=0$


         Para fatorar por agrupamento, reescreva convenientemente  $x$  como  $+2x-x:$

         $x^2+2x-x-2=0\\\\ x(x+2)-1(x+2)=0\\\\ (x+2)(x-1)=0\\\\ \begin{array}{rcl}x+2=0&\textsf{ ou }&x-1=0\\\\ x=-2&\textsf{ ou }&x=1 \end{array}$


         Mas  $x< 1,$  então apenas um valor acima é solução:

         $x=-2\qquad\mathbf{(i)}$

—————

     •   Para   $1\le x< 2:$

         Temos

         $x-2<2-2\\\\ \Rightarrow\quad x-2<0\\\\ \Rightarrow\quad |x-2|=-(x-2)\\\\ \Rightarrow\quad |x-2|=2-x$


          $1-1\le x-1\\\\ \Rightarrow\quad 0\le x-1\\\\ \Rightarrow\quad |x-1|=x-1$


         e a equação fica

         $x-(2-x)=x\cdot (x-1)\qquad (1\le x< 2)\\\\ x-2+x=x^2-x\\\\ x^2-3x+2=0$


         Para fatorar por agrupamento, reescreva convenientemente  $x$  como  $-x-2x:$

         $x^2-x-2x+2=0\\\\ x(x-1)-2(x-1)=0\\\\ (x-1)(x-2)=0\\\\ \begin{array}{rcl}x-1=0&\textsf{ ou }&x-2=0\\\\ x=1&\textsf{ ou }&x=2 \end{array}$


         Como  $1\le x<2,$  apenas um valor acima serve:

          $x=1\qquad\mathbf{(ii)}$

—————

     •   Para   $x\ge 2:$

         Temos

         $x-2\ge 2-2\\\\ \Rightarrow\quad x-2\ge 0\\\\ \Rightarrow\quad |x-2|=x-2$


         $x-1\ge 2-1\\\\ \Rightarrow\quad x-1\ge 1\\\\ \Rightarrow\quad x-1\ge 0\\\\ \Rightarrow\quad |x-1|=x-1$


         e a equação fica

         $x-(x-2)=x\cdot (x-1)\qquad (x\ge 2)\\\\ x-x+2=x^2-x\\\\ x^2-x-2=0$


         Para fatorar por agrupamento, reescreva convenientemente  $-x$  como  $+x-2x:$

         $x^2+x-2x-2=0\\\\ x(x+1)-2(x+1)=0\\\\ (x+1)(x-2)=0\\\\ \begin{array}{rcl}x+1=0&\textsf{ ou }&x-2=0\\\\ x=-1&\textsf{ ou }&x=2 \end{array}$


Como  $x\ge 2,$  nos resta apenas um valor como solução:

          $x=2\qquad\mathbf{(iii)}$

—————

Fazendo a união das soluções parciais, obtemos o conjunto das soluções da equação modular:

     $S=\{-2,\,1,\,2\}$


e a soma procurada é

     $-2+1+2=1\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta.}$


Resposta:  alternativa  e)  1.


Bons estudos! :-)