Matemática, perguntado por EM4N03L, 1 ano atrás

ESPCEX - Os valores reais de n para os quais a reta (t) y = x+n seja tangente à elipse de equação 2x^2 + 3y^2 = 6

Por que devo substituir a equação da reta no lugar do y da equação da elipse??? o que garante a tangência ?

marianamaia210: 2x²+3y²=6 => 2x²+3(x+n)²=6 => 2x²+3(x²+2nx+n²)=6 => 2x²+3x²+6nx+3n²=6 => 5x²+6nx+3n²-6=0 => ∆=0 => ∆=(6n)²-4.5.(3n²-6) => 36n²-20(3n²-6)=0 => 36n²-60n²+120=0 => -24n²+120=0 => 24n²=120 => n²=120/24 => n²=5 => n=±5

Soluções para a tarefa

Respondido por marianamaia210

porque a reta passa somente por um único ponto da elipse, com isso você achará o valor de "x" e verá também que o ∆=0

EM4N03L: acho que intendi +/-

marianamaia210: 2x²+3y²=6 // 2x²+3(x+n)²=6 // 2x²+3(x²+2nx+n²)=6 // 2x²+3x²+6nx+3n²=6 // 5x²+6nx+3n²-6=0 // ∆=0 // ∆= (6n)²-4.5.(3n²-6) // ∆=36n²-60n²+120 // -24n²+120=0 // 24n²=120 // n²=120/24 // n²=5 // n=±5

EM4N03L: obrigado querida

Respondido por silvageeh

Os valores reais de n são ±√5.

Se a reta y = x + n é tangente à equação 2x² + 3y² = 6, então existe um ponto de interseção apenas.

Substituindo o valor de y = x + n na equação da elipse 2x² + 3y² = 6, obtemos a seguinte equação:

2x² + 3(x + n)² = 6

2x² + 3(x² + 2xn + n²) = 6

2x² + 3x² + 6xn + 3n² - 6 = 0

5x² + 6xn + 3n² - 6 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara.

Calculando o valor de delta:

Δ = (6n)² - 4.5.(3n² - 6)