(ESPCEX 2020) Oito alunos, entre eles Gomes e Oliveira, são dispostos na primeira fileira do auditório da
EsPCEx, visando assistirem a uma palestra. Sabendo-se que a fileira tem 8 poltronas, de quantas
formas distintas é possível distribuir os 8 alunos, de maneira que Gomes e Oliveira não fiquem
juntos?
[A] 8!
[B] 7·7!
[C] 7!
[D] 2·7!
[E] 6·7!
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
>> Em primeiro lugar, calcular o total de possibilidades sem restrições (TOTAL)
>> Em segundo lugar, calcular o total de possibilidades nas quais Gomes e Oliveira estarão juntos (TOTAL JUNTOS).
>> Finalmente aplicar na fórmula: TOTAL NÃO JUNTOS = TOTAL - TOTAL JUNTOS
O total de possibilidades de distribuição de oito alunos em oito poltronas, sem restrição é de 8!.
O total de possibilidades de distribuição na qual Gomes e Oliveira estarão juntos é 2 x 7 x 6! Vamos ver porque:
( G )( O )( _ )( _ )( _ )( _ )( _ )( _ )
1 2 3 4 5 6 7 8
Repare que eles podem ficar juntos de 7 maneiras diferentes, são elas, ocupando as poltronas: (1,2), (2,3), (3,4), (4,5),(5,6), (6,7), (7,8). Além disso, podem ficar na posição Gomes e depois Oliveira ou o contrário. Então fica sendo 7x2. Como sobrarão 6 pessoas para as outras 6 poltronas, basta multiplicar por 6! Logo, o total das possibilidades com eles juntos é de 2 x 7 x 6! que é igual a 2 x 7!.
Agora é só aplicar na fórmula a seguir:
TOTAL NÃO JUNTOS = TOTAL - TOTAL JUNTOS
TOTAL NÃO JUNTOS = 8! - 2 x 7! = 8 x 7! - 2 x 7! = 7!(8-2)=7!.6 [alternativa correta é a letra [E]
O número de maneiras que é possível distribuir os 8 alunos de forma que Gomes e Oliveira não permaneçam juntos é igual a 7! x 6, o que torna correta a alternativa E).
Para resolvermos essa questão, devemos aprender o que é a permutação.
O que é a permutação?
Em análise combinatória, quando desejamos descobrir de quantas formas podemos ordenar os n elementos de um conjunto, utilizamos a permutação. Com isso, temos que a permutação possui fórmula P = n!, onde n é o número de elementos do conjunto.
Assim, devemos observar que o número total de maneiras que os alunos podem ser dispostos nas 8 poltronas é igual à permutação desses 8 alunos. Portanto, o número total é igual a P(8) = 8!.
Já o tomando o caso em que Gomes e Oliveira ficam juntos, devemos considerar os dois lado a lado como um único elemento. Assim, temos a permutação de 7 elementos, obtendo P(7) = 7!.
Entretanto, temos que Gomes e Oliveira podem inverter as suas posições. Ou seja, devemos multiplicar 7! por 2, obtendo 2 x 7!.
Portanto, o número de maneiras que Gomes e Oliveira não permanecem juntos é igual ao total de permutações menos o número de permutações onde os dois estão juntos.
Ou seja, o número de permutações é igual a 8! - 2 x 7!.
Podemos escrever 8! como sendo 8 x 7!. Ou seja, a expressão se torna 8 x 7! - 2 x 7!.
Colocando 7! em evidência, obtemos 7! x (8 - 2), ou 7! x 6.
Portanto, concluímos que o número de maneiras que é possível distribuir os 8 alunos de forma que Gomes e Oliveira não permaneçam juntos é igual a 7! x 6, o que torna correta a alternativa E).
Para aprender mais sobre permutação, acesse:
brainly.com.br/tarefa/20622320
