Question

(espcex – 2014) a soma de todas as soluções da equação 2 cos3 x − cos2 x − 2 cos x 1 = 0, que estão contidas no intervalo [0; 2π], é igual a (a) 2π. (b) 3π. (c) 4π. (d) 5π. (e) 6π.

Answer 1

Com o estudo sobre raízes racionais, temos como resposta a letra d)5$\pi$

Teorema das raízes racionais

Esse teorema permite pesquisar possíveis raízes de uma equação algébrica cujos coeficientes são números inteiros. "Se a fração $\dfrac{p}{q}$, sendo p e q números inteiros e primos entre si, for raiz da equação algébrica $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_2x^2+a_1x+a_0=0$ de grau n, cujos coeficientes são números inteiros com $a_n\ne 0$, então p é divisor de $a_0$ e q é divisor de $a_n$."

Exemplo: Dada a equação $\dfrac{x^3}{4}-\dfrac{x^2}{2}-x+\dfrac{3}{4}=0$ vamos encontrar as raízes racionais.

Podemos observar que os coeficientes dessa equação não são números inteiros, mas se multiplicarmos ambos os membros por 4, obtemos a equação equivalente $x^3-2x^2-4x+3=0$, cujos coeficientes são inteiros. Aplicando o teorema das raízes complexas encontramos as possíveis raízes racionais $a_0=3\:e\:a_n=1$ temos:

• os possíveis valores de p são D(3) = { $\pm 1,\pm 3$}

• os possíveis valores de q são D(1) = {$\pm 1$}

Dessa forma, os possíveis valores de $\dfrac{p}{q}$ são: $\pm 1,\pm 3$

Verificando esse valores na equação algébrica, concluímos que 3 é raiz inteira. Com base nisso podemos resolver o exercício.

Com o teorema das raízes racionais vemos que cos(x)=1/2 é uma solução.

$2y^3-y^2-2y+1=0\rightarrow \left(y-\dfrac{1}{2}\right)\left(2y^2-2\right)=0$

temos:

$\begin{cases}cos\left(x\right)=\frac{1}{2}\rightarrow x=\dfrac{\pi }{3},\:x=\dfrac{5\pi }{3}&\\ cos\left(x\right)=1\rightarrow x=0,\:x=2\pi &\\ cos\left(x\right)=-1\rightarrow x=\pi &\end{cases}$

Daí,

$\dfrac{\pi }{3}+\dfrac{5\pi }{3}+0+\pi +2\pi =5\pi$

Saiba mais sobre teorema da raiz raciona:https://brainly.com.br/tarefa/32927

Saiba mais sobre equação trigonométrica:https://brainly.com.br/tarefa/40258004

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