Question

Escreve os vetores $V_{1}=(1, \ 2, \ -1), \ \ V_{2}=(6, \ 4, \ 2) \ \ e \ \ V_{3}=(4, \ -1, \ 8)$ como combinação linear dos vetores da base canônica $[C_{1}, \ C_{2}, \ C_{3}]$ de R³. Reciprocamente, escreva cada vetor $C_{1}, \ C_{2}, \ C_{3}$

como combinação linear dos vetores da base $[V_{1}, \ V_{2}, \ V_{3}]$ de R³.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre álgebra linear.

A base canônica de ${\mathbb{R}}^3$ são os vetores $\hat{i}=(1,~0,~0),~\hat{j}=(0,~1,~0)$ e $\hat{k}=(0,~0,~1)$.

Um vetor $\vec{v}$ é combinação linear dos vetores $\vec{u}_1,~\vec{u}_2,~\cdots,~\vec{u}_i$ se existem coeficientes $\alpha_1,~\alpha_2,~\cdots,~\alpha_i\in\mathbb{R}$ tais que $\vec{v}=\alpha_1\cdot \vec{u}_1+\alpha_2\cdot \vec{u}_2+\cdots+\alpha_i\cdot \vec{u}_i$.

a) Escreva os vetores $V_1,~V_2$ e $V_3$ como combinação linear dos vetores que formam a base canônica de ${\mathbb{R}}^3$.

Primeiro, lembre-se que num sistema de coordenadas, isto é, em ${\mathbb{R}}^3$, as coordenadas dos vetores são, respectivamente, iguais aos coeficientes da combinação linear dos vetores da base canônica.

Ou seja, fazemos:

$V_1=(1,~2,\,-1)=\alpha_1\cdot (1,~0,~0)+\alpha_2\cdot(0,~1,~0)+\alpha_3\cdot (0,~0,~1)\\\\\\ (1,~2,~-1)=(\alpha_1,~\alpha_2,~\alpha_3)\\\\\ \Rightarrow \begin{cases}\alpha_1=1\\\alpha_2=2\\\alpha_3=-1\\\end{cases}\\\\\\ \boxed{V_1=C_1+2C_2-C_3} \\\\\\ V_2=(6,~4,~2)=\beta_1\cdot (1,~0,~0)+\beta_2\cdot(0,~1,~0)+\beta_3\cdot (0,~0,~1)\\\\\\ (1,~2,~-1)=(\beta_1,~\beta_2,~\beta_3)\\\\\ \Rightarrow \begin{cases}\beta_1=6\\\beta_2=4\\\beta_3=2\\\end{cases}\\\\\\ \boxed{V_2=6C_1+4C_2+2C_3}$

$V_3=(4,\,-1,~8)=\gamma_1\cdot (1,~0,~0)+\gamma_2\cdot(0,~1,~0)+\gamma_3\cdot (0,~0,~1)\\\\\\ (4,\,-1,~8)=(\gamma_1,~\gamma_2,~\gamma_3)\\\\\ \Rightarrow \begin{cases}\gamma_1=4\\\gamma_2=-1\\\gamma_3=8\\\end{cases}\\\\\\ \boxed{V_3=4C_1-C_2+8C_3}$

b) Escreva os vetores da base canônica de ${\mathbb{R}}^3$ como combinação linear dos vetores $V_1,~V_2$ e $V_3$.

Para tanto, devemos resolver um sistema de equações lineares de três variáveis.

$C_1=(1,~0,~0)=\delta_1\cdot (1,~2,\,-1)+\delta_2\cdot(6,~4,~2)+\delta_3\cdot(4,\,-1,~8)\\\\\\ (1,~0,~0)=(\delta_1+6\delta_2+4\delta_3,~2\delta_1+4\delta_2-\delta_3,\,-\delta_1+2\delta_2+8\delta_3)\\\\\\ \left[\begin{array}{ccc|c}1&6&4&1\\2&4&-1&0\\-1&2&8&0\\\end{array}\right]$

Escalonando o sistema, temos:

$L_2-2L_1\rightarrow L_3+L_1\rightarrow L_3+L_2\\\\\\ \left[\begin{array}{ccc|c}1&6&4&1\\0&-8&-9&-2\\0&0&3&-1\\\end{array}\right]$

Facilmente, calculamos os valores dos coeficientes da combinação linear:

$8\delta_3=-1\Rightarrow \delta_3=-\dfrac{1}{3}\\\\\\ -8\delta_2-\delta_3=-2\Rightarrow \delta_2=\dfrac{5}{8}\\\\\\ \delta_1+6\delta_2+4\delta_3=1\Rightarrow \delta_1=-\dfrac{17}{12}\\\\\\ \boxed{C_1=-\dfrac{17}{12}V_1+\dfrac{5}{8}V_2-\dfrac{1}{3}V_3}$

Repita o processo com os vetores $C_2$ e $C_3$.