Question

escreva uma P.A de tres termos, sabendo que a soma desses termos vale 12 e que a soma de seus quadrados vale 56

Answer 1

Se é uma P.A então existe uma razão de progressão r para a P.A
Concorda que podemos escreve-la assim:
(x-r, x , x+ r)
Então, a1 = x-r         a2 = x          a3 = x+r
Logo,
a1+a2+a3 = 12 ( segundo o enunciado )

(x - r) + x + (x + r) = 12 Agrupando as incógnitas
x + x + x + r - r = 12 Perceba que + r - r = 0
3 . x = 12
x = 4

Então agora precisamos descobrir quanto vale essa razão r, para podermos escrever nossa P.A

(4-r)² + 4² + (4+r)² = 56 Produto Notável!
16 - 8r + r² + 16 + 16 + 8r + r² = 56 Agrupando os termos semelhantes, temos
2 . r² + 48 = 56 Equação do 2º Grau!
2 . r² - 8 = 0

r = (0 +- √ - 4 . 2 . (-8) ) / 2 . 2
r = (+- √ 64) / 4
r = +- 8 / 4 
r' = + 2
r'' = - 2

Agora vamos testar se a P.A atende ao proposto

a1 = x - r = 4 - 2   = 2       
a2 = x     = 4        = 4       
a3 = x + r = 4 + 2 = 6

P.A ( 2; 4; 6 )
2 + 4 + 6 = 12, Exatamente como o proposto!
2² + 4² + 6² = 4 + 16 + 36 = 56, Excelente, agora com a outra raiz.

a1 = 4 - (-2) = 6
a2 = 4         = 4
a3 = 4 + (-2) = 2

P.A( 6;4;2 )
6 + 4 + 2 = 12
6² + 4² + 2² = 36 + 16 + 4 = 56