Question

Escreva uma expressão do termo geral de uma Progressão Aritmética e calcule a soma dos 50 primeiros termos sabendo que a soma do terceiro e sexto termos é 12 e que o quinto é 5.

Answer 1

Resposta:

Termo geral: $A_{n}=15-2n$

Soma dos 50 primeiros termos: $-1800$

Explicação passo a passo:

Primeiro, devemos encontrar a razão da Progressão Aritmética. A razão é o número que somamos um termo da PA, resultando em seu termo consecutivo. Sendo assim, podemos dizer que se o 5º termo é 5, o 6º termo será 5 + r e que o 3º termo será 5 - 2r.

Foi informado pela questão que a soma do 3º e 6º termo da progressão resulta em 12, então, iremos somar os valores que encontramos para descobrir o valor de r:

(5 - 2r) + (5 + r) = 12

5 - 2r + 5 + r = 12

10 - r = 12

-r = 2

r = -2

Portanto, a razão é -2. Agora, temos que encontrar o termo geral desta PA. Para isso iremos utilizar da seguinte fórmula:

$A_{n}=A_{x}+(n-x)r$

Temos que $A_{5}$ = 5; r = -2. Substituindo na fórmula, ficamos com:

$A_{n}=5+(n-5).-2\\A_{n}=5-2n+10\\A_{n}=15-2n$

Agora que encontramos o termo geral, devemos encontrar a soma dos 50 primeiro termos. Para isso, temos que descobrir o 1º e o 50º termos apenas, como já encontramos o termo geral, isso será mais fácil:

$A_{1}= 15-2(1)\\A_{1}=15-2\\A_{1}=13$

$A_{50}= 15-2(50)\\A_{50}=15-100\\A_{50}=-85$

Agora, vamos utilizar da fórmula da soma de PA, que é a seguinte:

$S=\frac{(A_{1}+A_{n} ).n}{2}$

Temos que $A_{1}$ = 13; $A_{50}$ = -85. Substituindo na fórmula:

$S=\frac{(13-85)50}{2}\\S=(13-85)25\\S=(-72)25\\S=-1800$