Question

Escreva o vetor v = (1, -2, 5) como combinação linear dos vetores, u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 2, 3) e u3 = (2, -1, 1).

Answer 1

Temos os seguintes vetores:

$\begin{cases}v = (1,-2,5) \\ u_1 =(1,1,1) \\ u_2 =(1,2,3) \\u_3 = (2, - 1,1) \end{cases}$

Para estabelecer a combinação, vamos começa escrevendo a relação:

$v = \lambda_1.u_1+ \lambda_2.u_2+\lambda_3.u_3$

Substituindo os vetores "u":

$(1,-2,5) = \lambda_1.(1,1,1) + \lambda_2(1,2,3) + + \lambda_1(2,-1,1)$

Realizando o produto da escalar pelos valores de cada um vetor "u":

$(1,-2,5) = (\lambda_1, \lambda_1, \lambda_1) + (\lambda_2,2\lambda_2 ,3\lambda_2) + (2 \lambda_3, - \lambda_3,\lambda_3 )$

Realizando a soma dos vetores e igualando com os valores antes da igualdade:

$1= \lambda_1 + \lambda_2 + 2 \lambda_3 \\ - 2 = \lambda_1 + 2 \lambda_2 -\lambda_3 \\ 5 = \lambda_1 + 3\lambda_2 + \lambda_3$

Observe que surgiu um sistema de três "incógnitas". Vamos iniciar dizendo que a Linha 3 recebe a Linha 3 subtraida da Linha 1:

$L_3\leftarrow L_3-L_1 \\ L_3\leftarrow 2\lambda_2 - \lambda_3 = 4$

Substituindo essa nova expressão:

$1= \lambda_1 + \lambda_2 + 2 \lambda_3 \\ - 2 = \lambda_1 + 2 \lambda_2 -\lambda_3 \\ 4 = 2\lambda_2 - \lambda_3 \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora a Linha 2 recebe a Linha 2 subtraída da Linha 1:

$L_2\leftarrow L_2-L_1 \\ L_2\leftarrow \lambda_2 - 3\lambda_3 = - 3$

Substituindo a nova equação:

$1= \lambda_1 + \lambda_2 + 2 \lambda_3 \\ - 3 = \lambda_2 -3\lambda_3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 4 = 2\lambda_2 - \lambda_3 \: \: \: \: \: \: \: \:$

A Linha 3 recebe a Linha 3 subtraida do triplo da Linha 2:

$L_3\leftarrow L_3-2L_2 \\ L_3\leftarrow 5\lambda_3 = 10$

Substituindo essa expressão:

$1= \lambda_1 + \lambda_2 + 2 \lambda_3 \\ - 3 = \lambda_2 -3\lambda_3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 10= 5 \lambda_3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora é só resolver as equações:

$\begin{cases} 5\lambda_ 3 = 10 \\ \lambda_3 = \frac{10}{5} \\ \lambda_3 = 2 \end{cases} \begin{cases} - 3 =\lambda_2 - 3 \lambda_ 3 \\ - 3 =\lambda_2 - 6 \\\lambda_2 = 3\end{cases} \begin{cases} 1 = \lambda_1 + \lambda_2 + 2\lambda_3 \\ 1 = \lambda_1 + 3 + 2.2 \\ \lambda_1 = - 6 \end{cases}$

Portanto temos que a combinação é:

$\boxed{v = - 6.u_1+ 3.u_2+2.u_3 }$

Espero ter ajudado