Question

Escreva o polinômio p(x) de raízes -1, 2 + i e 2 - i, tal que p (2) = 9.

Answer 1

Um polinomio pode ser escrito pelas suas raizes da seguinte forma:

$p(x)=a.(x-x_1).(x-x_2).(x-x_3)....$

Onde x1, x2, x3 , .... xn são as suas raizes e "a" é um coeficiente.

Vamos substituir as raizes dadas:

$p(x)=a.(x-(-1)).(x-(2+i)).(x-(2-i))\\\\p(x)=a.(x+1).(x-2-i).(x-2+i)$

Perceba que nos falta achar o coeficiente "a".

Para determina-lo vamos aplicar na função o ponto (2,9) fornecido pelo enunciado:

$p(2)=a.(2+1).(2-2-i).(2-2+i)=9\\\\a.(3).(-i).(i)=9\\\\a.3.(-i^2)=9\\\\3a.(-(-1))=9\\\\3a\;.\;1=9\\\\a=\frac{9}{3}\\\\a=3$

Assim o polinomio fica:

p(x)=3.(x+1).(x-2-i).(x-2+i)

ou se quiser expandi-lo:

p(x) = 3x³-9x²+3x+15