Question

Escreva o desenvolvimento de cada expressão.

A- (x+y) ³=
B- (x+y)¹º=

O elevado é 10 da letra B

Answer 1

Lembra do triangulo de pascal?
Caso nao lembre, aqui está, ele segue a lógica de o numero de baixo é a soma do numero de cima dele com o valor do lado


1                                                                    Linha 0
1  1                                                                Linha 1
1  2  1                                                            Linha 2
1  3  3  1                                                        Linha 3
1  4  6  4   1                                                   Linha 4
1  5  10 10 5  1                                              Linha 5
1  6  15 20 15  6  1                                        Linha 6
1  7  21  35 35 21 7  1                                   Linha 7
1  8  28  56 70 56 28 8  1                              Linha 8
1  9 36 84 126 126 84 36 9  1                       Linha 9
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1          Linha 10

Com esse triangulo, que voce pode montar facilmente numa prova por exemplo, podemos obter um resultado fácil para sua questao

(X+Y)^2 = (x+y)(x+y) pois tudo ao quadrado é ele vezes ele mesmo

Se fizermos distributiva fica x.x + x.y + y.x + y.y = x^2 + 2xy + y^2 , que é o produto notável mais conhecido e decorado por nós alunos

Agora note que:

1x^2 + 2xy + 1y^2

Sabendo que 1x^1 é a mesma coisa que x^1

Percebeu o 1 2 1 em negrito? 
Por acaso essa é a linha 2 do triangulo de pascal
E a pergunta exemplo era (x+y)^2


Aqui temos um padrao!


Sabendo que todo numero elevado a 0 = 1
Podemos escrever x^2 + 2xy + y^2 assim:

 x^2 . y^0 + 2 . x^1 . y^1 + x^0 . y^2

Ve que o x é elevado a 2, depois a 1 , depois a 0, onde ele nem aparece pois da 1
E o y é elevado primeiro a 0, portanto nem aparece pois da 1, depois a 1 ,depois a 2

Aqui temos outro um padrao!


Quando voce tiver um produto notável de (x+y)^n

Voce vai primeiro fazer o primeiro fator (x) elevado a n ir diminuindo até chegar a 0

Sendo n = 3, ou seja, (x+y)^3:

x^3          x^2            x^1           x^0

Agora pegamos o segundo fator (y) e, comecando por 0, chegamos até n

x^3 . y^0 + x^2 . y^1 + x^1 . y^2 + x^0 . y^3

Agora, pegamos a linha n do triangulo de pascal e adicionamos os numeros daquela linha em cada um dos produtos:

A linha 3 do triangulo de pascal é: 1 3 3 1

1 . x^3 . y^0 + 3 . x^2 . y^1 + 3 . x^1 . y^2 + 1 . x^0 . y^3

Portanto temos: x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = resposta da letra A (x+y)^3

Agora a letra B : (x+y)^10 voce deve ter condicoes de fazer:

linha 10 do triangulo de pascal:
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Lembrando de comecar com x^10 e y^0  e ir descendo o expoente de x e subindo o de y

1x^10y^0 + 10x^9y^1 + 45x^8y^2 +  120x^7y^3 + 210x^6y^4 + 252x^5y^5 + 210x^4y^6 + 120x^3y^7 + 45x^2y^8 + 10x^1y^9 + 1x^0y^10

Que é a resposta da letra B