Question

Escreva o conjunto imagem das funções

a) f(x) = Ι x + 4 Ι

b) g(x) = Ι x + 4 Ι - 1

c) h(x) = 1 - Ι x + 4 Ι

Answer 1

Boa noite amigo! Eis a solução:

Problemas que solicitam a imagem de funções modulares sempre devem ser analisadas com um tanto de cuidado, porém, basicamente o que você deve guardar é que expressões modulares só resultam em valores positivos e zero. 
Para resolvermos, deveremos pensar "qual valor mais baixo, e qual valor mais alto obtenho nessa função". 

a) f(x) = Ι x + 4 Ι
Como o módulo só retorna valores positivos e o zero podemos afirmar que:

I(f) = {y ∈ R l y ≥ 0 ∀ x ∈ R} (lê-se: O conjunto imagem pertence aos números reais maiores, ou iguais, a 0, para todo x real)

b) g(x) = Ι x + 4 Ι - 1
Nesse caso, temos algo bem parecido com o primeiro; porém temos um termo que subtrai 1 da nossa função "antiga". Ou seja: O valor mínimo da função será diminuída em 1, fazendo com que ao invés de termos 0 como valor mínimo, teremos -1. Logo, obtêm-se:

I(g) = {y ∈ lR l y ≥ -1 ∀ x ∈ lR} (lê-se: O conjunto imagem pertence aos números reais maiores, ou iguais, a -1, para todo x real)

c) h(x) = 1 - Ι x + 4 Ι
No caso acima, temos um coeficiente negativo multiplicando o módulo, o que implica que invés de resultar valores positivos (e o zero), resulta em valores negativos (e o zero). O termo que está somando 1 também influencia nos limites do conjunto imagem, fazendo com que a função "chegue" até a 1. Logo, obtêm-se:

I(h) = {y ∈ lR l y ≤ 1 ∀ x ∈ lR} (lê-se: O conjunto imagem pertence aos números reais menores, ou iguais, a 1, para todo x real)

Acho que era isso, qualquer dúvida é só falar! Abraços!