Question

escreva na forma trigonometrica o numero z=-2i

Answer 1

Dado um número complexo $\mathtt{z}$ escrito na forma

$\mathtt{z = a + bi}$            com $\mathtt{a,\,b\in\mathbb{R},}$
 

O módulo de $\mathtt{z},$ dado por

$\mathtt{|z|=\sqrt{a^2+b^2}}$


e o argumento de z é o ângulo $\theta$ que satisfaz

$\left\{\!\begin{array}{l} \mathtt{cos\,\theta=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}\\\\ \mathtt{sen\,\theta=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}} \end{array}\right.\quad\quad\quad\mathtt{0\le \theta\le 2\pi}$


O número $\mathtt{z}$ escrito na forma trigonométrica é

$\boxed{\begin{array}{c}\mathtt{z=|z|\cdot(cos\,\theta+i\,sen\,\theta)} \end{array}}$

_________

Para o número dado,

$\mathtt{z=-2i}\\\\ \mathtt{z=0-2i~~~~\Rightarrow~~a=0,\,b=-2}$


Módulo:

$\mathtt{|z|=\sqrt{0^2+(-2)^2}}\\\\ \mathtt{|z|=\sqrt{0+4}}\\\\ \mathtt{|z|=\sqrt{4}}\\\\ \mathtt{|z|=2}$


Argumento:

$\left\{\!\begin{array}{l} \mathtt{cos\,\theta=\dfrac{0}{2}=0}\\\\ \mathtt{sen\,\theta=\dfrac{-2}{2}=-1} \end{array}\right.~~~\Rightarrow~~\mathtt{\theta=\dfrac{3\pi}{2}}$


O número $\mathtt{z}$ escrito na forma trigonométrica:

$\mathtt{z=|z|\cdot(cos\,\theta+i\,sen\,\theta)}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathtt{z=2\cdot\left(cos\,\dfrac{3\pi}{2}+i\,sen\,\dfrac{3\pi}{2}\right)} \end{array}}$


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Bons estudos! :-)