Question

Escreva na forma trigonométrica e o argumento de Z = - 5 - 5i .

Answer 1

Determinando o módulo  ( |z| ) ⇒
|z| = √(a² + b²), onde a e b são os coeficientes de z...

z= -5 - 5*i ⇒ a = -5 e b = -5

|z| = √((-5)² + (-5)²)
|z| = √(25 + 25)
|z| = √50 ⇒ Fatorando, chegamos em 5 * √2...

Cosseno = a / |z|
Sendo a -  -5 e |z| = 5 * √2 :

Cos = -5 / 5 * √2 (racionalizando)
Cos = (- 5) *√2 /( 5 * √2) * √2
Cos = - 5 * √2 / 5 * 2
Cos = -5 * √2 / 10
Cos = - √2 / 2

Seno = b / |z|
Sendo a -  -5 e |z| = 5 * √2 :

Sen = -5 / 5 * √2 (racionalizando)
Sen = (- 5) *√2 /( 5 * √2) * √2
Sen = - 5 * √2 / 5 * 2
Sen = -5 * √2 / 10
Sen = - √2 / 2

O argumento (θ) é o ângulo que contém os valores de seno e cosseno calculados...
Sabemos que sen e cos 45° = √2/2... só que, pelo círculo trigonométrico, se seno e cosseno são ambos negativos, então o ângulo está no 3º quadrante...

45° no 3° quad. ⇒ 180° + 45° =  225° ⇒ Este é θ !

225° = 5 * π / 4

Forma trigonométrica: z = |z| * ( cos θ + (sen θ) * i) 
Logo, ficamos com :

z = 5 * √2 * (cos 225° + ( sen 225° ) * i)
z = 5 * √2 * (cos (5 * π / 4) + ( sen (5 * π / 4) ) * i)