Question

escreva equação do segundo grau em que as somas de raízes seja 35 e o produto 300
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Answer 1

O polinômio procurado é  f(x)= x²-35x+300

Um polinômio do segundo grau pode ser escrito como

$f(x)=ax^2+bx+c$

sendo a, b e c constantes. Sejam $x_1$ e $x_2$ as raízes deste polinômio. Isto é, $f(x_1)=0$ e $f(x_2)=0$. As relações de Girard relacionam os coeficientes a, b e c com a soma e produto das raízes através das seguintes equações:

$x_1+x_2=-b/a\\ \\x_1*x_2=c/a$

Fazendo $a=1$ e sabendo que a soma das raízes é 35 e o produto 300, as equações acima ficam:

$35=-b\\ \\300=c$

Logo, pode-se concluir que $b=-35$ e $c=300$. Portanto, o polinômio procurado é: $f(x)=x^2-35x+300$.

Pode-se verificar o resultado resolvendo a expressão $x^2-35x+300=0$ pela fórmula de Bháskara:

$\Delta=b^2-4ac = (-35)^2-4*1*300 = 25\\ \\ \\x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-35) \pm \sqrt{25}}{2}\\ \\ \\x=\frac{35 \pm 5}{2}\\ \\ \\ \\x_1=\frac{35+5}{2}=\frac{40}{2}=20\\ \\x_2=\frac{35-5}{2}=\frac{30}{2}=15$

Logo, as raízes são $x_1=20$ e $x_2=15$. Note que a soma é $x_1+x_2=20+15=35$ e o produto é $x_1*x_2=20*15=300$, conforme desejado. Assim, verifica-se que os cálculos estão corretos.

Bons estudos!! Espero ter ajudado