Question

Escreva as equações parametricas do plano paralelo ao eixo z e que contém interseção dos planos x+2y +3z=4 e 2x+3y+z= 2

Answer 1

Resposta:

a intersecção entre x+2y+3z=4 e 2x+3y+z=2 é uma reta , o produto vetorial entre os seu vetores normais é o vetor diretor de uma reta.

(1,2,3)^(2,3,1) =

x    y   z     x   y

1    2   3     1   2

2    3   1     2   3

det=2x+6y+3z-y-9x-4z = -7x+5y-z ==> (-7,5,-1)

é o vetor diretor da reta que é definida pela intersecção dos dois planos

Os planos são x+2y+3z=4 e 2x+3y+z=2

façamos y=0  

x+2*0+3z=4 e 2x+3*0+z=2

ficamos com

x+3z=4 ==> 2x+6z=8 (i)

2x+z=2 ==> 2x+z=2 (ii)

(i)-(ii)

5z=6

z=6/5  usando (ii) ==> 2x+6/5=2 ==> x=1-3/5=2/3

é um ponto da reta e do novo Plano   = (2/3 , 0 , 6/5)  

A intersecção entre  os planos é a reta r

r: (x,y,z)=(2/3,0,6/5) +t*(-7,5,-1)  t pertence aos Reais

vetor paralelo ao eixo z =>(0,0,1)

Vetor normal do novo plano:

x    y    z   x    y

0    0    1   0    0

-7   5   -1  -7    5

det=-7y-5x  =>  (0,-7,-5) vetor normal do Plano procurado

-5x-7y + D =0

Usando o ponto (2/3 , 0 , 6/5)  

-10/3 - 0 + D=0  ==> D=10/3

-5x-7y+10/3 = 0 é a resposta

Temos dois vetores:

(0,0,1) e  (-7,5,-1)

e um ponto (2/3 , 0 , 6/5)  

Equação vetorial do Plano:

(x,y,z)=(2/3 , 0 , 6/5) + k * (0,0,1) + t * (-7,5,-1)  t e k ∈ aos Reais

Equação paramétrica do Plano:

x=2/3 -7t

y=5t

z=6/5+k-t  t e k ∈ ao Reais