Question

Escreva a lei da função correspondente de cada gráfico dado, na forma $f(x)=ax^{2} +bx+c$

Answer 1

a) Primeiramente, c = 3, pois é onde o gráfico corta o eixo y. Além disso, os pontos dados são (0, 3) e (1, 2), ou seja, f(0) = 3 e f(1) = 2. Substituindo f(1) = 2 na equação geral:

f(x) = ax² + bx + c

f (1) = 2 = a×1² + 1×b + 3

2 = a + b + 3 (Equação I)

Outra relação que temos é o ponto mínimo do gráfico, cuja abscissa geral é Vx = -b/2a. Nesse caso, como o ponto mínimo vale 1, temos Vx = 1. Substituindo:

1 = -b/2a

Agora isolamos o b

2a = -b

b = -2a (Equação II)

Substituindo a Equação II na Equação I:

2 = a - 2a + 3

2 - 3 = -a

-a = -1

a = 1

Substituindo essa valor na Equação II, temos:

b = -2×1

b = -2

Ou seja, a lei de função é

f(x) = x² -2x + 3

b) Nesse caso, c = 4, pois é onde o gráfico corta o eixo y. Além disso, temos os pontos (-1, 0) e (4, 0). Ou seja, f(-1) = 0 e f(4) = 0. Aplicando esses termos na equação geral:

f(x) = ax² + bx + c

f(-1) = 0 = a(-1)² -1×b + 4

0 = a - b + 4 (Equação I)

e

f(4) = 0 = a×4² + b×4 + 4

0 = 16a + 4b + 4 (Dividindo os dois lados da igualdade por 4 para facilitar os cálculos)

0/4 = 16a/4 + 4b/4 + 4/4

0 = 4a + b + 1 (Isolando b)

b = -1 - 4a (Equação II)

Substituindo II em I, temos

0 = a - (-1 - 4a) + 4

0 = a + 1 + 4a + 4

0 = 1 + 5a + 4

0 = 5 + 5a (Dividindo os dois lados por 5)

0/5 = 5/5 + 5a/5

0 = 1 + a

a = -1

Aplicando esse valor em II:

b = - 1 - 4(-1)

b = - 1 + 4

b = 3

Ou seja, a lei da função é f(x) = -x² + 3x + 4

c) c = 2.

Aplicando o ponto (1, 3), ou seja, f(1) = 3:

f(1) = 3 = a×1² + 1×b + 2

3 = a + b + 2

a + b = 1

Usando a fórmula do ponto mínimo para Vx = 0:

0 = -b/2a

- b = 0

b = 0

Aplicando em a + b = 1, descobrimos que

a = 1

Ou seja, f(x) = x² + 2

d) c = 0.

Aplicando f(2) = 4 na equação geral:

f(2) = 4 = a×2² + b×2

4 = 4a + 2b (÷ os dois lado por 2)

2 = 2a + b (Eq. I)

Aplicando f(4) = 0:

f(4) = 0 = a×4² + 4b

0 = 16a + 4b (÷ os dois lados por 4)

0 = 4a + b (Isolando b)

b = -4a (Eq. II)

Aplicando em Eq. I:

2 = 2a - 4a

2 = -2a

a = -1

Aplicando esse valor em Eq. II:

b = -4(-1)

b = 4

f(x) = -x² + 4x