Question

escreva a forma trigonométrica do numero z³ sabendo que o numero complexo z = $\sqrt{2} - i\sqrt{2}$

Answer 1

Relembrando um pouco sobre complexos

Sendo um número complexo Z :

$\text Z = \text{a+b.i }$

O complexo Z na forma trigonométrica :

$\text Z = |Z|.[\text{Cos}(\theta)+\text{i.Sen}(\theta)]$

$\text Z = |Z|.\text{Cis}(\theta)$

onde :

$|\text Z| = \sqrt{\text a^2+\text b^2 }$

$\displaystyle \text{Cos}(\theta) = \frac{\text a}{|\text Z| }$

$\displaystyle \text{Sen}(\theta) = \frac{b}{|\text Z|}$

Potência de um número complexo :

$\text Z^n = |Z|^n.[\text{Cos}(n.\theta)+\text{i.Sen}(n. \theta)]$

ou na forma reduzida

$\text Z^n = |Z|^n.Cis(n.\theta)$

Bora pra questão.

Temos o complexo $\text Z = \sqrt{2}-\text i.\sqrt{2}$ :

$|Z| = \sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2} = \sqrt{4} = 2$

$\displaystyle \text{Cos}(\theta) =\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\displaystyle \text{Sen}(\theta) = \frac{-\sqrt{2}}{2}$

se o seno fosse positivo seria $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4}$, Porém o Cosseno positivo e Seno negativo, então o ângulo está no 4º quadrante.

Logo :

$\displaystyle \theta = 2.\pi - \frac{\pi}{4} \to \boxed{\theta = \frac{7\pi}{4}}$

Portanto :

$\displaystyle \text Z = 2.\text{Cis}(\frac{7\pi}{4})$

A questão pede Z³, então :

$\displaystyle \text Z^3 = 2^3.\text{Cis}(\frac{3.7\pi}{4})$

$\huge\boxed{\displaystyle \text Z^3 = 8.\text{Cis}(\frac{21\pi}{4})} \checkmark$