Question

Escreva a equação reduzida das seguintes elipses, dados:
o centro (0, 0), um dos focos (0, −√40), e um ponto (√5, 4/3) da elipse.

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, conseguimos chegar a conclusão de que a equação reduzida é igual a $\boxed{\bf\frac{x {}^{2} }{ \left( \frac{ - 598 + 2\sqrt{154201} }{36}\right)} + \frac{y {}^{2} }{ \left( \frac{842 + 2 \sqrt{154201} }{36} \right)}= 1}$

Explicação

Temos as seguintes informações:

$\:\:\:\:\:\:\bf C(0,0) , \: F_2(0,-\sqrt{40}) \: e \: P\left(\sqrt{5},\frac{4}{3}\right)$

O objetivo da questão é determinarmos a equação reduzida da elipse com estes dados.

________________________________

• Elipse:

Pela definição formal desta cônica, temos que:

• Fixado dois pontos $\bf F_1 \:e\:F_2$, o conjunto dos pontos P tais que $\bf d_{P,F_1}+d_{P,F_2} = 2a$, é denominado elipse.

Onde os pontos fixos F, são chamados de focos e a distância deles com um ponto P pertencente a elipse, resulta em uma constante (a).

• Focos:

Os focos são pontos simétricos ao centro, ou seja, a distância do centro aos focos é sempre a mesma $\bf d_{C,F_1} = d_{C,F_2} = c$.

• Simétricos são pontos que são basicamente os mesmos, mas com sinais opostos dependendo da relação de simetria.

A questão nos fornece um dos focos desta elipse e como o centro é na origem, podemos afirmar com toda a certeza que seu simétrico em relação a origem, isto é, o outro foco é dado por:

$\: \:\:\: \:\:\:\:\:\bf F_1={ F_2'} \: \: \: \to \: \: \: F_1= (0,\sqrt{40})$

• Distância entre os pontos:

Sabendo os focos, podemos utilizar a definição de elipse citada anteriormente e determinar o valor da constante (a).

• A relação que usaremos é basicamente a distância entre dois pontos, sendo ela:

$\:\:\:\:\boxed{\bf d_{A,B} = \sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}}$

Primeiro vamos calcular a distância de P para F1:

$\:\:\:\:\bf P\left(\sqrt{5},\frac{4}{3}\right) \: e \: \: F_1(0,\sqrt{40}) \\ \\ d_{P,F_1} = \sqrt{(0 - \sqrt{5} ) {}^{2} + \left( \sqrt{40} - \frac{4}{3} \right ) {}^{2} } \\ d_{P,F_1} = \sqrt{5 + \frac{360 - 24 \sqrt{40} + 16 }{9} } \: \: \: \: \: \: \\ d_{P,F_1} = \sqrt{ \frac{421 - 24 \sqrt{40}}{9} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ d_{P,F_1} = \frac{\sqrt{ 421 - 48 \sqrt{10} }}{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos fazer a mesma coisa com F2:

$\:\:\:\:\bf P\left(\sqrt{5},\frac{4}{3}\right) \: e \: \: F_2(0, - \sqrt{40}) \\ \\ d_{P,F_2} = \sqrt{(0 - \sqrt{5} ) {}^{2} + \left( - \sqrt{40} - \frac{4}{3} \right ) {}^{2} } \\ d_{P,F_2} = \sqrt{5 + \frac{360 + 24 \sqrt{40} + 16 }{9} } \: \: \: \: \: \: \\ d_{P,F_2} = \sqrt{ \frac{421 + 24 \sqrt{40}}{9} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ d_{P,F_2} = \frac{\sqrt{ 421 + 48 \sqrt{10} }}{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

A soma destas duas distâncias é igual a 2a, logo:

$2a = \frac{\sqrt{ 421 - 48 \sqrt{10} }}{3} + \frac{\sqrt{ 421 + 48 \sqrt{10} }}{3} \\ \\ a = \frac{\frac{\sqrt{ 421 - 48 \sqrt{10} }}{3} + \frac{\sqrt{ 421 + 48 \sqrt{10} }}{3} }{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ a = \frac{ \sqrt{421 - 48 \sqrt{10} } + \sqrt{421 + 48 \sqrt{10} } }{6}$

• Vértice do eixo menor.

Para determinar a equação reduzida, devemos ainda encontrar o valor de (b), que corresponde a medida do eixo não focal. Para isso, basta utilizarmos o Teorema de Pitágoras, onde (a) é o valor que determinamos logo acima e (c) é $\bf\sqrt{40}$. Logo:

$\left(\frac{ \sqrt{421 - 48 \sqrt{10} } + \sqrt{421 + 48 \sqrt{10} } }{6} \right)^{2} = b {}^{2} + ( \sqrt{40} ) {}^{2} \\ \\ \left(\frac{ 421 - 48 \sqrt{10} +2 \sqrt{421 {}^{2} - (48 \sqrt{10} ) {}^{2} } + 421 + 48 \sqrt{10} }{36} \right)^{2} = b {}^{2} + 40 \\ \\ b {}^{2} = \frac{842 + 2 \sqrt{177241 - 23040} }{36} - 40 \: \: \to \: \: b {}^{2} = \frac{842 + 2 \sqrt{154201} }{36} - 40 \\ \\ b {}^{2} = \frac{842 - 1440 + 2 \sqrt{154201} }{36} \: \to \: b = \frac{ \sqrt{ - 598 + 2\sqrt{154201} } }{6}$

• Orientação da equação:

Observe que a reta focal está sobre o eixo y, uma vez que a abscissa do ponto é zero, portanto sabemos que o eixo maior irá possuir a mesma configuração. Logo a equação será dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\:\:\boxed{\bf\frac{x {}^{2} }{b {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{a {}^{2} } = 1}$

Substituindo os dados na relação acima.

$\frac{x {}^{2} }{ \left( \frac{ - 598 + 2\sqrt{154201} }{36}\right)} + \frac{y {}^{2} }{ \left( \frac{842 + 2 \sqrt{154201} }{36} \right)}= 1$

Portanto concluímos que esta é a equação.

Espero ter ajudado.

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