Question

Escolhemos um número inteiro. Duplicamos esse número, duplicamos o resultado e duplicamos uma terceira vez e uma quarta vez o resultado. Obtivemos um número com 3 algarismos. Qual pode ser o algarismo que está faltando

17 e ?

Answer 1

Vamos lá.

Esta questão já havia sido colocada uma primeira vez e eu fiz alguns comentários que ela era meio "sem sentido" porque não havia uma pretensa resposta que o número de 3 algarismos começaria com "17_" e estaria faltando o último algarismo. Mas agora, como você colocou que o número de 3 algarismos começa com "17_", faltando apenas o último algarismo, então vamos dar a nossa resposta. 

i) Veja que há um número natural, que vamos chamá-lo de "x".
Então veja que esse número "x" vai ser duplicado uma primeira vez, uma segunda vez, uma terceira vez e finalmente uma quarta vez, formando um número de 3 algarismos que começa com o "1" e o "7", faltando informar qual é o último algarismo. Então esse número de 3 algarismos chamaremos de "17y". Resta-nos saber qual é o algarismo que deverá substituir o "y". 

ii) Mas vamos começando por dobrar o nosso número natural "x". Assim teremos:

- dobrando-o a primeira vez, ficaremos com: 2*x = 2x 
- dobrando-o a segunda vez, ficaremos com: 2x*2 = 4x 
- dobrando-o a terceira vez, ficaremos com: 4x*2 = 8x 
- dobrando-0 a quarta vez, ficaremos com 8x*2 = 16x. 

iii) Agora veja que esse número, dobrado pela quarta vez, é igual a "16x". E como ele forma o número "17y", então vamos igualá-los. Assim teremos:

16x = 17y ------ isolando "x", teremos: 
x = 17y/16         

Agora vamos dar valores a "y" a partir de "1" para encontrarmos o valor de "x", ou seja, só pararemos quando encontrarmos um valor de "y" tal que o número formado seja divisível por "16". Então vamos ver: 

- Para y = 1, teremos: 

x = 171/16 = 10,6875 ---- como não dá divisão exata, então vamos para o 2.

- Para y = 2, teremos: 

x = 172/16 = 10,75 ---- como não dá divisão exata, então vamos para o 3. 

- Para y = 3, teremos: 

x = 173/16 = 10,8125 --- como não dá divisão exata, então vamos para o 4. 

- Para y = 4, teremos: 

x = 174/16 = 10,875 --- como não dá divisão exata, então vamos para o 5.


- Para y = 5, teremos: 

x = 175/16 = 10,9375 --- como não dá divisão exata, então vamos para o 6.

- Para y = 6, teremos: 

x = 176/16 = 11 ---- como deu uma divisão exata, então o número natural antes considerado é o número "11". 

E o algarismo que estava faltando e que deverá substituir o "y" será o algarismo "6", ou seja, o algarismo que está faltando é o algarismo:

6 <--- Esta é a resposta. Este é o algarismo que deve substituir o "y" em "17y".

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, veja como isso é verdade mesmo. 

-  O número natural considerado que encontramos é o número "11". 
- Duplicando a primeira vez, ficamos com: 2*11 = 22 
- Duplicando a segunda vez, ficamos com: 2*22 = 44 
- Duplicando a terceira vez, ficamos com: 2*44 = 88 
- Duplicando a quarta vez, ficamos com: 2*88 = 176 <--- Olha aí como é verdade mesmo que o número natural é o "11" e o número formado de 3 algarismos é o número "176", cujo último algarismo (6) ficou no lugar do "y" de "17y". 

É isso aí. 
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.