Question

(Esc. Naval 2013) A equação 4x²-y²-32x+8y+52=0, no plano xy, representa.

Answer 1

Olá Márcio!

Completemos o quadrado, veja:

$\\ \mathsf{(4x^2 - 32x) + (- y^2 + 8y) + 52 = 0} \\\\ \mathsf{4(x^2 - 8x) - (y^2 - 8y) + 52 = 0} \\\\ \mathsf{4 \cdot [(x^2 - 8x + 16) - 16] - [(y^2 - 8y + 16) - 16] + 52 = 0} \\\\ \mathsf{4 \cdot [(x - 4)^2 - 16] - [(y - 4)^2 - 16] + 52 = 0} \\\\ \mathsf{4(x - 4)^2 - 64 - (y - 4)^2 + 16 + 52 = 0} \\\\ \mathsf{(y - 4)^2 - 4(x - 4)^2 = 4 \qquad \div(4} \\\\ \boxed{\mathsf{\frac{(y - 4)^2}{4} - (x - 4)^2 = 1}}$

 Com isso, podemos concluir que a equação, em questão, representa uma HIPÉRBOLE!

Answer 2

Resposta: Hipérbole

Explicação passo-a-passo:

4x^2-y^2-32x+8y=-52=> 4x^2-32x=> 4(x^2-8x)=4(x+a)^2=> 4(x^2+2ax+a^2)=> -8x=+2a=> a=-4=> 4(x-4)^2=>4(x^2-8x+16)=> 4x^2-32x+64

-(y^2-8y)=>y^2-8y=>(y+b)^2=>y^2+2yb+b^2=>-8y=+2b=>b=+4=>(y-4)^2=>y^2-8y+16=>(*-1)=>-y^2+8y-16=>  

4x^2-32x+64-y^2+8y-16=-52+64-16 => 4(x-4)^2-(y-4)^2=-4 => Centro = (+4,+4)

-(x-4)^2+(y-4)^2/4=1=>a^2=4=>a=+/-2; b^2=-1=>a ou b fora dos reais => Hipérbole

considerando ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0 => Elipse=> a≠b,a ou b= negativo temos Hipérbole.

Resolução completa com gráfico em https://geoconic.blogspot.com/p/13.html