Question

esboce um gráfico e indique por meio de hachuras o conjunto dos pontos P(x,y) ∈ R² que satisfazem o seguinte sistema de desigualdades $\left \{ {{0 \leq xy \leq 1} \atop { x^{2} + y^{2} \leq 2}} \right.$

Answer 1

Veja figuras em anexo. Caso precise ampliar alguma delas, pode abrir em nova aba/janela do seu navegador.


Representar graficamente as soluções das desigualdades:;

$\left\{ \begin{array}{cc} 0\leq xy \leq 1&\;\;\;\mathbf{(i)}\\ \\ x^{2}+y^{2}\leq 2&\;\;\;\mathbf{(ii)} \end{array} \right.$


Vamos representar separadamente cada uma das desigualdades, e depois faremos a interseção entre os resultados.


$\bullet\;\;$ Região $0\leq xy \leq 1:$

$0\leq xy\;\;\text{ e }\;\;xy \leq 1$


(Figura 1.1) $0\leq xy$ são todos os pontos $(x;\,y)$ do plano onde

$x$ e $y$ têm sinais iguais (no primeiro e no terceiro quadrantes); e

$x$ é igual a zero ou $y$ é igual a zero (ou ambos são iguais a zero: origem do plano). Estes pontos estão sobre os eixos coordenados.


(Figura 1.2) $xy \leq 1$ são todos os pontos $(x;\,y)$ do plano cartesiano,
limitados pela curva $y=\dfrac{1}{x}:$


$xy \leq 1 \Rightarrow\;\;\left\{ \begin{array}{cc} y \leq\dfrac{1}{x},\text{ se }x>0\\ \\ y \geq \dfrac{1}{x},\text{ se }x<0 \end{array} \right.$


Isto quer dizer que

Quando $x>0$ (no primeiro e no quarto quadrantes), a região compreende os pontos abaixo e sobre do gráfico da curva $y=\dfrac{1}{x},$

Quando $x<0$ (no segundo e no terceiro quadrantes), a região compreende os pontos acima e sobre do gráfico da curva $y=\dfrac{1}{x},$


(Figura 1.3) A região $0\leq xy \leq 1$ é a interseção entre $0\leq xy$ e  $xy \leq 1.$


$\bullet\;\;$ Região $x^{2}+y^{2}\leq 2:$


(Figura 2) São todos os pontos internos e sobre à circunferência de equação

$x^{2}+y^{2}=2$

que possui raio $\sqrt{2}$ e está centrada na origem do plano.


$\bullet\;\;$ Região pedida pela questão:

$\left\{ \begin{array}{cc} 0\leq xy \leq 1&\;\;\;\mathbf{(i)}\\ \\ x^{2}+y^{2}\leq 2&\;\;\;\mathbf{(ii)} \end{array} \right.$


Sobrepondo as soluções das regiões $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)}$ (figura 3.1), encontramos a região procurada (figura 3.2).

A região procurada está marcada pela cor laranja na figura 3.2.

Os pontos tracejados não pertencem à região, só estão ali para demarcar os limites.


Observações:

As curvas limitantes

$xy=1\;\;\text{ e }\;\;x^{2}+y^{2}=2$

se tocam em exatamente dois pontos: $(-1;\,-1)\;\text{ e }\;(1;\,1).$

que são solução do sistema

$\left\{ \begin{array}{l} xy=1\\ \\ x^{2}+y^{2}=2 \end{array} \right.$