Question

Esboce o gráfico e determine uma equação para a assintota... (mais detalhes no anexo).

Answer 1

Se existe uma assíntota oblíqua a f(x) em mais ou menos infinito então

• $a= \lim_{n \to \infty} \frac{f(x)}{x}$

• $b= \lim_{n \to \infty} f(x)-ax$

E o mesmo se aplica aos limites no menos infinito

$a= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1+5x-2x^2}{x-2}}{x}\\\\a= \lim_{n \to \infty} \frac{1+5x-2x^2}{x(x-2)}\\\\a=\lim_{n \to \infty} \frac{1+5x-2x^2}{x^2-2x}\\\\a=\lim_{n \to \infty} \frac{x^2(\frac{1}{x^2}+\frac{5}{x}-2}{x^2(1-\frac{2}{x})}\\\\a=-2$

Para o limite no menos infinito o coeficiente é o mesmo.

$b= \lim_{n \to \infty} f(x)-ax\\\\b= \lim_{n \to \infty} \frac{1+5x-2x^2}{x-2}-(-2)x\\\\b= \lim_{n \to \infty} \frac{(1+5x-2x^2)+2x(x-2)}{x-2}\\\\b= \lim_{n \to \infty} \frac{(1+5x-2x^2)+2x^2-4x}{x-2}\\\\b= \lim_{n \to \infty} \frac{x+1}{x-2}\\\\b=\lim_{n \to \infty} \frac{x(1+\frac{1}{x})}{x(1-\frac{2}{x})}\\\\b=1$

Assim como no coeficiente angular, no menos infinito o coeficiente linear é o mesmo, o que indica que a função tem como assíntota, tanto no mais quanto no menos infinito, a reta:

$y=-2x+1$