Esboçe o gráfico de f(×)=4ײ-1/2×-1.Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule
Soluções para a tarefa
Temos f(x) = 4x² - x/2 - 1
Para esboçar o gráfico dessa função, primeiramente, precisamos perceber a curva será uma parábola, já que temos uma função de grau 2.
Outra coisa que precisamos perceber é que essa parábola terá concavidade voltada para cima, pois o coeficiente que acompanha x² é positivo.
Agora, precisamos determinar alguns pontos fundamentais dessa parábola: suas raízes — que são os pontos em que a parábola intercepta o eixo x —, o ponto em que ela intercepta no eixo y e o ponto mínimo da parábola.
Vamos começar pelas raízes. Para encontrar as raízes, basta igualar a função a zero:
4x² - x/2 - 1 = 0
Podemos resolver essa equação de segundo grau através da fórmula de Bhaskara:
Δ = b² - 4ac
Δ = (-1/2)² - 4.4.(-1)
Δ = 1/4 + 16
Δ = 65/4
x = (-b ± √Δ)/2a
x = (-(-1/2) ± √(65/4))/2.4
x = (1/2 ± √65/2)/8
x1 = (1/2 + √65/2)/8 = (1 + √65)/16
x2 = (1/2 - √65/2)/8 = (1 - √65)/16
Então, encontramos as raízes da parábola. Os pontos em que a parábola intercepta o eixo x são ((1 + √65)/16; 0) e ((1 - √65)/16; 0).
(Como √65 ~ 8, considere que (1 + √65)/16 vale aproximadamente 9/16 ~ 0,56 e que (1 - √65)/16 vale aproximadamente -7/16 ~ -0,44.)
O ponto em que a parábola intercepta o eixo y corresponde ao ponto em que x = 0. Logo, temos:
f(x) = 4x² - x/2 - 1
f(0) = 4.0² - 0/2 - 1
f(0) = -1
O ponto em questão é o ponto (0, -1).
Por fim, o ponto mínimo dessa parábola será o ponto de coordenadas (-b/2a; -Δ/4a).
Temos:
-b/2a = -(-1/2)/2.4 = (1/2)/8 = 1/16
-Δ/4a = -(65/4)/4.4 = -(65/4)/16 = -65/64
Logo, o ponto mínimo da parábola é o ponto (1/16; -65/64).
(Considere que 1/16 vale aproximadamente 0,06 e que -65/64 vale aproximadamente -1.)
Você também poderia ter encontrado a abscissa do ponto mínimo da parábola derivando a função f(x) e igualando sua derivada a zero:
f'(x) = 0
8x - 1/2 = 0
8x = 1/2
x = 1/16
Substituindo x = 1/16 em f(x), você encontraria a ordenada do ponto mínimo:
f(x) = 4x² - x/2 - 1
f(1/16) = 4(1/16)² - (1/16)/2 - 1
f(1/16) = 4/256 - 1/32 - 1
f(1/16) = 4/256 - 8/256 - 256/256
f(1/16) = -260/256
f(1/16) = -65/64
De qualquer modo, já temos todos os pontos de que precisamos. Aí, é só traçar a curva da parábola. Coloquei ela na imagem anexada.
Quanto ao limite, temos:
lim n -> 1/2 (2x - 1)
Se foi realmente isso o que você quis dizer, ou seja, n tendendo a 1/2 sendo que a variável da função é x, então lim n -> 1/2 (2x - 1) = 2x - 1, pois é como se o "2x - 1" fosse uma constante.
Agora, se o que você quis dizer foi lim n -> 1/2 (2n - 1) ou lim x -> 1/2 (2x - 1), basta substituir a variável por 1/2:
2.1/2 - 1 =
1 - 1 =
0
Logo, nesse caso, o valor do limite é zero.
