Question

Esboce o gráfico das seguintes funções, determine o domínio, imagem, e classifique se crescente ou decrescente:

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Uma função exponencial $\sf y=a^x$ é:

• Crescente, se $\sf a > 1$

• Decrescente, se $\sf 0 < a < 1$

2)

$\sf f(x)=2\cdot\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{-x}$

$\sf f(x)=2\cdot(2^{-1})^{-x}$

$\sf f(x)=2\cdot2^{(-1)\cdot(-x)}$

$\sf f(x)=2\cdot2^x$

$\sf f(x)=2^{1+x}$

$\sf f(x)=2^{x+1}$

Como $\sf a=2$, então $\sf a > 1$ e a função é crescente.

=> Para x = -2:

$\sf f(-2)=2^{-2+1}$

$\sf f(-2)=2^{-1}$

$\sf f(-2)=\dfrac{1}{2}$

O gráfico passa pelo ponto $\sf \Big(-2,\dfrac{1}{2}\Big)$

=> Para x = -1:

$\sf f(-1)=2^{-1+1}$

$\sf f(-1)=2^0$

$\sf f(-1)=1$

O gráfico passa pelo ponto $\sf (-1,1)$

=> Para x = 0:

$\sf f(0)=2^{0+1}$

$\sf f(0)=2^1$

$\sf f(0)=2$

O gráfico passa pelo ponto $\sf (0,2)$

=> Para x = 1:

$\sf f(1)=2^{1+1}$

$\sf f(1)=2^2$

$\sf f(1)=4$

O gráfico passa pelo ponto $\sf (1,4)$

=> Para x = 2:

$\sf f(2)=2^{2+1}$

$\sf f(2)=2^3$

$\sf f(2)=8$

O gráfico passa pelo ponto $\sf (2,8)$

O gráfico está em anexo (em azul)

• Domínio: são os valores que x assume.

$\sf D(f)=\mathbb{R}$

• Imagem: são oe valores que y assume.

$\sf Im(f)=\{y\in\mathbb{R}~|~y > 0\}$

3) $\sf f(x)=3\cdot2^{x}$

Como $\sf a=2$, então $\sf a > 1$ e a função é crescente.

=> Para x = -2:

$\sf f(-2)=3\cdot2^{-2}$

$\sf f(-2)=3\cdot\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2$

$\sf f(-2)=3\cdot\dfrac{1}{4}$

$\sf f(-2)=\dfrac{3}{4}$

O gráfico passa pelo ponto $\sf \Big(-2,\dfrac{3}{4}\Big)$

=> Para x = -1:

$\sf f(-1)=3\cdot2^{-1}$

$\sf f(-1)=3\cdot\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^1$

$\sf f(-1)=3\cdot\dfrac{1}{2}$

$\sf f(-1)=\dfrac{3}{2}$

O gráfico passa pelo ponto $\sf \Big(-1,\dfrac{3}{2}\Big)$

=> Para x = 0:

$\sf f(0)=3\cdot2^0$

$\sf f(0)=3\cdot1$

$\sf f(0)=3$

O gráfico passa pelo ponto $\sf (0,3)$

=> Para x = 1:

$\sf f(1)=3\cdot2^1$

$\sf f(1)=3\cdot2$

$\sf f(1)=6$

O gráfico passa pelo ponto $\sf (1,6)$

=> Para x = 2:

$\sf f(2)=3\cdot2^2$

$\sf f(2)=3\cdot4$

$\sf f(2)=12$

O gráfico passa pelo ponto $\sf (2,12)$

O gráfico está em anexo (em vermelho)

• Domínio: são os valores que x assume.

$\sf D(f)=\mathbb{R}$

• Imagem: são oe valores que y assume.

$\sf Im(f)=\{y\in\mathbb{R}~|~y > 0\}$

4) $\sf f(x)=1+\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^x$

Como $\sf a=\dfrac{1}{3}$, então $\sf 0 < a < 1$ e a função é decrescente.

=> Para x = -2:

$\sf f(-2)=1+\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^{-2}$

$\sf f(-2)=1+3^2$

$\sf f(-2)=1+9$

$\sf f(-2)=10$

O gráfico passa pelo ponto $\sf (-2,10)$

=> Para x = -1:

$\sf f(-1)=1+\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^{-1}$

$\sf f(-1)=1+3^1$

$\sf f(-1)=1+3$

$\sf f(-1)=4$

O gráfico passa pelo ponto $\sf (-1,4)$

=> Para x = 0:

$\sf f(0)=1+\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^0$

$\sf f(0)=1+1$

$\sf f(0)=2$

O gráfico passa pelo ponto $\sf (0,2)$

=> Para x = 1:

$\sf f(1)=1+\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^1$

$\sf f(1)=1+\dfrac{1}{3}$

$\sf f(1)=\dfrac{3+1}{3}$

$\sf f(1)=\dfrac{4}{3}$

O gráfico passa pelo ponto $\sf \Big(1,\dfrac{4}{3}\Big)$

=> Para x = 2:

$\sf f(2)=1+\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^2$

$\sf f(2)=1+\dfrac{1}{9}$

$\sf f(2)=\dfrac{9+1}{9}$

$\sf f(2)=\dfrac{10}{9}$

O gráfico passa pelo ponto $\sf \Big(2,\dfrac{10}{9}\Big)$

O gráfico está em anexo (em verde)

• Domínio: são os valores que x assume.

$\sf D(f)=\mathbb{R}$

• Imagem: são oe valores que y assume.

$\sf Im(f)=\{y\in\mathbb{R}~|~y > 1\}$